La recherche d’un problème non résolu en théorie des nombres

 Résultats abordables par les élèves en fonction des connaissances mathématiques disponibles

A partir de l’analyse du programme de l’enseignement de spécialité de la classe de terminale scientifique, des analyses des pré-expérimentations et de l’analyse a priori des procédures, nous présentons les résultats partiels sur la conjecture d’Erdös-Straus qui peuvent être attendus des élèves de terminale scientifique engagés dans une recherche sur ce problème. Le premier résultat partiel qui peut être attendu est le suivant : si l’équation admet des solutions pour un entier naturel n, alors elle admet des solutions pour tout multiple de n. Les connaissances en jeu (multiplication d’une expression fractionnaire par un nombre entier et notion d’égalité) sont a priori disponibles et mobilisables par des élèves de terminale scientifique dans la mesure où elles sont apprises au collège. Cependant, l’analyse des préexpérimentations montre que ces connaissances ne sont pas toujours mobilisées. Le résultat est souvent établi pour certaines valeurs de n (par exemple, remarquer que si n est multiplié par 2 alors les solutions x, y et z le sont aussi) et non généralisé à tout multiple de n. A noter que ce résultat peut apparaître au sein de deux procédures de nature différente : – exploratoire : à partir d’exemples sur différentes valeurs de n ; – opératoire : à partir de manipulations algébriques de l’équation initiale. Une conséquence de ce résultat partiel est la réduction du problème aux nombres premiers, qui repose sur cette propriété multiplicative et sur la propriété tout nombre entier n supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier. Cette réduction est a priori accessible aux élèves, dès la classe de troisième, niveau où est introduite la notion de nombre premier. Cependant, les analyses des pré-expérimentations montrent que peu d’élèves (même en terminale scientifique) effectuent la réduction du problème aux nombres premiers. De plus, lorsqu’elle est évoquée, elle se réalise en acte et non à partir des propriétés citées ci-dessus. Deux éléments peuvent expliquer que ce raisonnement soit difficilement mis en œuvre par des élèves. D’une part, la notion de nombre premier n’est étudiée que succinctement, sur des exemples simples. Il est donc probable que cette connaissance, bien que disponible, ne soit pas mobilisée par les élèves dans un contexte de résolution de problèmes de recherche. D’autre part, les élèves ont peu ou n’ont pas l’occasion de rencontrer ce genre de raisonnement dans leur apprentissage des mathématiques. La recherche de la conjecture, réduite aux nombres premiers, peut amener à faire un choix sur l’écriture des nombres. Grâce à la division euclidienne, un nombre premier n s’écrit nécessairement : – sous la forme 4k − 1 ou 4k − 3, avec k entier naturel. – sous la forme d’une congruence, n ≡ 1 mod 4 ou n ≡ 3 mod 4. Nous faisons l’hypothèse que la première forme d’écriture sera davantage mobilisée que celle avec les congruences, dans la mesure où la première est travaillée dès le collège. La notion de congruence n’est étudiée qu’en spécialité Mathématiques (terminale scientifique) ; elle risque d’être moins naturalisée pour les élèves. Nous faisons l’hypothèse que l’utilisation de la notion de congruences peut apparaître : 273 – au sein d’une procédure exploratoire, par observation d’essais sur des valeurs de n différentes et impaires. 1) semble difficilement accessible à des élèves de terminale scientifique. Cependant la méthode utilisée, qui consiste à éliminer différentes classes de nombres pour lesquelles on sait exhiber des solutions, peut être utilisée et le résultat en lui-même peut être approché. Il est donc possible pour des élèves de trouver certaines classes de nombres pour lesquelles on peut exhiber des solutions. Par exemple, dans les pré-expérimentations, la majorité des élèves démontre qu’il existe des solutions à l’équation pour tout n pair, multiple de 3 et multiple de 5. La démonstration du résultat 1 repose sur le théorème des restes chinois qui n’est au programme que dans l’enseignement supérieur. Cependant, en classe de terminale scientifique spécialité Mathématiques, certains exercices reposent sur ce théorème. Ainsi, il est possible que des élèves l’aient rencontré dans un exercice et l’utilisent, ou il peut également apparaître « en acte ». Enfin, la démonstration de ce résultat est abordable en terminale scientifique et peut faire l’objet d’un problème dans le cadre d’une institutionnalisation 2 . La recherche menée par Thépault (cf. chapitre 4, partie 4.3.1 p. 88), reposant sur une résolution d’équations du second degré par la méthode de la somme et produit des racines d’une fonction polynôme, peut difficilement émerger du travail des élèves de terminale scientifique. En effet, cette méthode de résolution d’équations n’est étudiée en mathématiques que dans l’enseignement supérieur. Dans les travaux des élèves et des étudiants analysés dans les pré-expérimentations, cette méthode n’a pas été utilisée. Avant 2009, des procédures algorithmiques (par exemple les algorithmes 1 et 2 présentés p. 269) avaient peu de chance d’émerger dans le travail des élèves étant donné que l’algorithmique était absente des programmes de mathématiques du collège et du lycée. Cependant, cette piste de recherche pouvait provenir d’élèves s’intéressant personnellement à ce domaine et sachant programmer sur calculatrice ou ordinateur. Les pré-expérimentations montrent que les collégiens et lycéens n’ont jamais mis en œuvre de procédures algorithmiques. Chez les étudiants, seul celui qui est en licence informatique a programmé un algorithme qui cherche les valeurs de x, y, z pour obtenir un nombre n entier. Avec les programmes actuels de mathématiques de l’enseignement secondaire, les élèves disposant d’une formation à l’algorithmique dès la classe de seconde, il semble possible que leur recherche sur la conjecture d’Erdös-Straus repose sur la construction d’algorithmes, tel que celui de décomposition de 4 n pour certaines valeurs de n. Pour conclure, nous identifions plusieurs résultats partiels sur la conjecture d’Erdös-Straus accessibles aux élèves de terminale scientifique, spécialité Mathématiques : – trouver des décompositions explicites pour différentes valeurs de n ; – regrouper ces décompositions selon des classes de nombres (par exemple pour les multiples de 2, les multiples de 3, etc.) ; – réduire le problème aux nombres premiers à partir d’une liste de nombres pour lesquels ils disposent de décompositions explicites ; 2. Dans l’expérimentation de type laboratoire présentée dans le chapitre suivant, nous avons proposé un tel problème. Cf. annexe G. 274 – réduire le problème aux nombres premiers à partir de la notion de multiplicativité et de la propriété tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier ; – établir que l’un des termes x, y ou z est un multiple de n, à partir d’exemples ; – construire un algorithme de vérification ou de construction de solutions ; – utiliser le tableur pour vérifier que des solutions fonctionnent. Ces résultats peuvent être trouvés à partir de diverses démarches mettant en œuvre des procédures de nature différente (exploratoire ou opératoire), comme nous l’avons montré dans l’analyse mathématique de la conjecture (chapitre 4). 

Analyse a priori des processus de recherche

Dans le chapitre 5, nous avons construit une grille d’analyse des processus de recherche, que nous avons mise à l’épreuve en étudiant les travaux de deux chercheurs sur la conjecture d’Erdös-Straus. Les analyses montrent la pertinence de cet outil méthodologique pour étudier les processus de recherche de mathématiciens sur ce problème. L’objectif de cette partie est d’étudier la pertinence de la grille pour analyser a posteriori le travail effectif des élèves sur la recherche de la conjecture. Nous reprenons donc la grille qui repose sur l’articulation de deux outils méthodologiques, une analyse en termes de dimensions organisatrice et opératoire et une analyse à l’aide de la notion de « geste », pour la confronter à la contingence des préexpérimentations. 

Analyse en termes de dimensions organisatrice et opératoire

L’analyse des travaux des chercheurs sur la conjecture d’Erdös-Straus (chapitre 5) a mis en évidence deux visées de la recherche de ce problème : d’une part la quête de la vérité de la conjecture pour tout entier naturel n et d’autre part, la recherche de décompositions effectives pour une valeur de n donnée. Pour chaque visée, nous avons identifié des dimensions organisatrice et opératoire privilégiées. Dans ce paragraphe, en appui sur les analyses des pré-expérimentations, nous faisons l’analyse a priori de ces deux pistes de recherche en analysant les dimensions organisatrices et opératoires qui peuvent être mises en jeu dans les raisonnements par les élèves. La première dimension organisatrice est commune aux deux visées de la recherche. Il s’agit du jeu d’extension/réduction avec la réduction du problème aux nombres premiers. L’analyse des travaux des élèves des pré-expérimentations montre que cette dimension organisatrice n’est pas première dans leur recherche. En effet, elle nécessite des connaissances d’arithmétique peu ou non disponibles selon le niveau des élèves. En classe de terminale scientifique, spécialité Mathématiques, la notion de nombre premier et de décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers étant au programme, elle pourrait être attendue. Nous avons relevé que cette réduction intervient le plus souvent en acte, à la suite d’une première phase de recherche (ce point est développé plus loin, p. 280). Cependant nous faisons l’hypothèse qu’elle pourrait être préalable à toute recherche si elle a déjà été utilisée dans la recherche d’un autre problème ou au cours de la résolution d’un exercice d’arithmétique. a. Quête de la vérité de la conjecture Cette visée de la recherche est associée à la sous-dimension organisatrice suivante : la simplification du problème par changement de cadre. Si les chercheurs pensent naturellement à simplifier le problème pour tenter de le résoudre, les élèves s’y autorisent peu. En effet, 275 l’enseignement secondaire ordinaire propose peu de problèmes ou exercices de mathématiques laissant des initiatives de ce genre aux élèves. Nous identifions ici une difficulté liée au contrat didactique. Les pré-expérimentations ont, par ailleurs, montré que cette dimension organisatrice est peu exploitée par les élèves dans leur recherche de la conjecture. Concernant le changement de cadre, de nombreux travaux en didactique des mathématiques (par exemple Douady, 1986, 1994 ; Pluvinage, 1993) ont montré son importance pour l’apprentissage des mathématiques et en particulier, en résolution de problèmes : Dans les conditions pour qu’un problème soit source et occasion d’apprentissage : […] le problème s’exprime dans au moins deux cadres. (Douady, 1994, p. 57) Cependant cette pensée organisatrice ne vit pas ou vit peu dans l’enseignement secondaire en France (Artigue et al., 2002). Trois dimensions opératoires sont associées à ces dimensions organisatrices : l’utilisation de théorèmes-clés en arithmétique, la manipulation de nature algébrique et la forme de représentation des entiers à l’aide de la division euclidienne (le paramètre b étant donné, tout nombre entier n peut s’écrire selon une et une seule des formes n = bk, n = bk + 1, …, n = bk + (b − 1), k étant un entier). Les pré-expérimentations montrent que les élèves éprouvent des difficultés à exploiter ces dimensions opératoires dans la mise en œuvre de leurs raisonnements. Par exemple, la notation d’un entier à l’aide de la division euclidienne semble difficilement mobilisable avant la classe de terminale scientifique. Cependant, les élèves peuvent se limiter à l’utilisation de l’écriture des multiples sous cette forme, c’est-à-dire pour un paramètre b donné, n = bk, k étant un entier, comme l’illustre la production des élèves de collège de la pré-expérimentation 3 (figure 7.2). Précisons également que cette forme de représentation des entiers sera peut être privilégiée par rapport à une notation avec l’outil congruence, notion plus complexe à manipuler pour les élèves (et qui n’est étudiée qu’en classe de terminale scientifique, spécialité Mathématiques).b. Recherche de décompositions effectives Après le jeu d’extension/réduction, la recherche de décompositions effectives pour une valeur de n donnée privilégie deux sous-dimensions organisatrices : la limitation de la recherche et le plongement dans Z/nZ. La limitation de la recherche qui consiste à réduire le nombre de classes à étudier en trouvant des décompositions pour des familles de nombres est une pensée organisatrice qui peut structurer une recherche menée par des élèves. En effet, comme nous l’avons observé dans les pré-expérimentations, ces derniers peuvent trouver que l’équation d’Erdös-Straus a des solutions pour certaines classes de nombres (par exemple les multiples de 2, 3, 5, etc.). Ils diminuent ainsi le nombre de cas à étudier. Cette dimension organisatrice est liée à une autre pensée organisatrice, celle du plongement dans Z/nZ. Cette dernière fait appel à des connaissances arithmétiques qui ne sont pas au programme de l’enseignement secondaire. Dans les travaux des élèves des pré-expérimentations, le passage à cette pensée organisatrice n’a pas été effectué. Cependant, nous faisons l’hypothèse qu’elle peut être suivie si les élèves l’ont déjà rencontrée, éventuellement en acte, dans une activité de recherche 3 . La dimension opératoire associée à ces dimensions organisatrices est la représentation des entiers avec les congruences. Comme nous venons de le préciser, cette écriture est disponible à partir de la classe de terminale scientifique mais les pré-expérimentations montrent qu’elle n’est pas toujours mobilisée. 

Comparaison des deux visées

L’analyse des pré-expérimentations montre que la dimension organisatrice associée à la recherche de décompositions effectives (limitation de la recherche) est plus facile à approcher par des élèves. Ceci est lié, d’une part aux connaissances en jeu dans les différentes pensées organisatrices, et d’autre part à l’articulation qu’elle entretient avec le caractère expérimental du problème, à savoir faire des essais sur différentes valeurs de n. En effet, la limitation de la recherche est porteuse de ce caractère expérimental puisqu’un moyen simple et efficace de réduire la recherche de la conjecture est de chercher des décompositions effectives pour des valeurs de n données. Comme nous l’avons déjà souligné, cette piste de recherche permet plus facilement aux élèves de s’engager dans une démarche expérimentale et d’articuler ainsi la manipulation des objets mathématiques avec l’élaboration d’éléments théoriques sur la conjecture. Cependant, cette visée de la recherche ne favorise pas toujours le processus d’élaboration de preuves et les recherches des élèves peuvent rester dans l’exhaustion de cas, sans chercher à trouver des éléments de preuves de leurs résultats partiels (voir par exemple les travaux de certains étudiants de la pré-expérimentation 4, p. 248). Pour conclure, l’analyse globale a priori des processus de recherche montre que les élèves peuvent s’engager dans deux types de recherche : – une recherche dirigée par la quête de la vérité de la conjecture, a priori algébrique et peu articulée avec le caractère expérimental du problème ; 3. Par exemple, l’exercice suivant demande une étude modulo 5 : Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre n(n + 2)(2n + 1)(2n + 7)(3n + 2) est divisible par 5. 277 – une recherche privilégiant la construction de décompositions, a priori de nature empirique, mettant en œuvre une dimension expérimentale mais peu articulée avec la nécessité de la preuve (Grenier & Tanguay, 2008). Les analyses des pré-expérimentations montrent que la recherche des élèves et des étudiants est effectivement dirigée par une visée privilégiée. Cependant le choix d’une visée n’exclut pas la mise en œuvre de procédures associées à l’autre visée. Des interactions et des articulations sont souvent présentes dans les travaux des élèves comme l’illustrent les deux exemples cidessous. Exemple 1 : Recherche d’un groupe (groupe 1) d’élèves de terminale scientifique de la pré-expérimentation 1. La direction de la recherche prise par ces élèves est la quête de la vérité de la conjecture, comme l’exprime ci-dessous un élève : Il faut le prouver dans le cas général, tu ne vas pas le faire pour chaque [nombre]. Ils cherchent alors à exploiter de nombreux raisonnements (par l’absurde, par disjonction de cas, par récurrence) et diverses connaissances d’arithmétique (théorème de Gauss, équation diophantienne) pour essayer de prouver l’existence de solutions pour tout n. L’analyse de leurs recherches montre qu’ils ont davantage mis en œuvre des procédures opératoires (la procédure 3, transformation de l’équation initiale et la procédure 5, raisonnement par récurrence) mais que c’est l’articulation de ces procédures avec une procédure de type exploratoire (la procédure 1, recherche de régularité entre les décompositions) qui leur a permis, d’une part de formuler le résultat sur l’existence d’une décomposition pour tout n pair, et d’autre part de construire la preuve de ce résultat (cf. M.-L. Gardes, 2010 et M.-L. Gardes, 2012). Exemple 2 : Recherche d’un groupe d’élèves (groupe 2) de terminale scientifique de la pré-expérimentation 1. La direction de la recherche prise par ces élèves est la recherche exhaustive de décompositions. Dès le début de leur recherche, ils ont exploité le caractère expérimental du problème en cherchant des décompositions pour une valeur de n donnée. L’analyse de leurs recherches (cf. M.-L. Gardes, 2010) montre qu’ils ont davantage exploité les procédures exploratoires (recherche de régularités entre les décompositions et recherche d’une méthode de décomposition). Cependant ils ont également essayé de transformer l’équation initiale (procédure opératoire 3) et de faire un raisonnement par récurrence (procédure opératoire 5). La mise en œuvre de ces procédures a été abandonnée lorsqu’ils se sont aperçus qu’ils ne disposaient pas des outils mathématiques nécessaires (par exemple pour étudier une équation avec une inconnue et quatre paramètres) ou lorsqu’ils se sont aperçus de la difficulté à mener certain type de raisonnements (par exemple pour faire un raisonnement par récurrence entre le rang n et le rang n + 2). Ces difficultés à exploiter des procédures de type opératoire les ont confortés dans leur choix de chercher des décompositions pour une valeur de n donnée par l’exploitation de procédures exploratoires.