Le problème des incertitudes portées par la géométrie

On peut distinguer le problème des incertitudes portées par la géométrie en deux catégories : le problème aux frontières aléatoires et le problème aux interfaces aléatoires entre les sous domaines (frontière entre différents matériaux). Pour définir ces deux problèmes, on considère d’abord une surface aléatoire Γ(θ). Cette surface est supposée paramétrée par un paramètre c : Nous allons présenter maintenant le problème des incertitudes portées par la frontière et le problème des incertitudes portées par les interfaces entre les sous-domaines composés de matériaux différents. Dans ces deux problèmes, les surfaces aléatoires sont supposées représentées par (1.90). Dans le cas de la méthode des éléments finis utilisée dans le cas déterministe [10], un maillage conforme est utilisé. Rappelons qu’un maillage est conforme si les interfaces entre les sous- domaines et la frontière du domaine sont entièrement représentées par des facettes (arêtes dans le cas 2D) des éléments du maillage. Cela permet de faciliter l’imposition des conditions aux limites au niveau de la frontière et d’assurer la discontinuité de certains champs au niveau des interfaces des matériaux (la composante normale de H et la composante tangentielle de B par exemple, voir exemple ci-dessous). Un maillage non conforme au niveau de la frontière prend difficilement en compte les conditions aux limites. Un maillage non conforme au niveau des interfaces des matériaux avec une discrétisation classique (voir la partie 1.2.1.4) ne peut pas assurer certaines discontinuités ce qui dégrade les résultats numériques [9]. A titre d’exemple, on présente dans la Figure 8 un domaine D découpé en 2 sous domaines D1 et D2 séparés par une interface aléatoire définie par la variable ξ. Avec une discrétisation classique en 2D, le potentiel scalaire dans l’élément triangulaire i prend la forme suivante (voir la partie 1.2.2.2)..

On peut constater que le champ H obtenu par (1.101) est continu dans l’élément i. Or, si le maillage n’est pas conforme, l’interface aléatoire peut couper un élément en deux et dans ce cas l’approximation de H ne peut être discontinue sur cet élément dégradant fortement la qualité de la solution. Si on utilise un maillage conforme, alors celui-ci devient aléatoire. Une représentation du potentiel scalaire sous la forme (1.58) n’est plus valable parce que aussi de ξ. Il existe un couplage entre les dimensions aléatoires et les dimensions spatiales qui n’existe pas lorsque les incertitudes sont portées par la loi de comportement. L’approximation sous une forme explicite d’un champ aléatoire n’est pas évidente et les méthodes intrusives présentées dans la partie 1.3.2 ne peuvent pas être directement applicables. Pour caractériser la grandeur G(ξ) quelconque, une possibilité consiste à utiliser l’approche non reconstruire le maillage pour chaque nouvelle géométrie rend le problème numériquement très lourd. De plus, une modification de maillage, sans prendre de précaution particulière, peut introduire du bruit numérique (dû principalement à la modification de la connectivité entre les nœuds), comme cela a été clairement montré par I. Tsukerman dans le cas déterministe de la prise en compte du mouvement [28]. Enfin, dans le cas où G(ξ) est une grandeur locale, elle peut être éventuellement discontinue au niveau stochastique. Comme on va le voir dans l’exemple qui suit, cette discontinuité dégrade [34] l’approximation par un chaos polynomial qui est continue et infiniment dérivable. Exemple 2: On s’intéresse à un problème de magnétostatique de dimension 1 défini sur la Figure 9. On impose une force magnétomotrice γ0=1 entre les deux faces opposées du domaine D. Le domaine D est divisé en deux sous domaines D1 et D2 de perméabilités µ1 et µ2.

Lorsque les perméabilités µ1 et µ2 sont différentes, le champ magnétique au point A est discontinu au point ξ où g(ξ) = x0 comme cela est présenté Figure 10. Ce point de discontinuité correspond au cas où le point A se situe sur l’interface entre D1 et D2. On constate que la discontinuité du champ magnétique au niveau de l’interface aléatoire entraîne une discontinuité selon la dimension aléatoire. Si on s’intéresse à l’approximation de Nous avons déduit dans ce qui précède les différences entre un problème où les incertitudes sont portées par la loi de comportement et un problème où les incertitudes sont portées par la géométrie. Dans la suite, nous allons présenter trois méthodes pour résoudre ce dernier problème. La méthode des domaines fictifs pour résoudre un problème de frontière aléatoire a été proposée dans [17]. La deuxième méthode appelée « méthode des éléments finis étendu stochastique » pour résoudre un problème aux interfaces aléatoires a été proposée dans [9]. Ces deux premières méthodes ont été proposées dans le domaine de la mécanique. La dernière méthode s’appelle « méthode de transformation » pour résoudre un problème de frontière aléatoire [8] proposée dans le domaine de mathématiques appliquées. On va les transposer au cas de la magnétostatique et on montrera que la méthode de transformation est applicable dans le cas où le domaine D possède des interfaces aléatoires et une frontière aléatoire en même temps.