Les modèles à base d’équations différentielles ou modèles compartimentaux

Considérés comme une référence dans le monde épidémiologique, les modèles compartimentaux sont des modèles dans lesquels la population est divisée en un nombre fini de compartiments qui inter-agissent entre eux suivant certaines règles fixées. On en distingue plusieurs types.

Les modèles SI, SIS et SIR

Considérons une maladie se transmettant directement d’un membre d’une population donnée à une autre en un temps suffisamment court. Cela suppose que les taux de naissance et de mortalité peuvent être considérés comme négligeables sur cette période. Nous appelons Susceptibles (S), les individus sains mais pouvant potentiellement devenir infectés (I) par la maladie. Les individus sains deviennent infectés avec un coefficient de proportionnalité i ≥ 0. Cela peut être représenté sous forme d’équations différentielles en tant que modèle SI de la manière suivante [38] :    S˙ = −iIS ˙I = iIS (2.1) La guérison reste cependant possible dans le cas de nombreuses maladies infectieuses. Si à chaque unité de temps, un individu infecté a une probabilité g de guérir de la maladie et de redevenir susceptible, on a en moyenne gl individus qui guérissent chaque jour. Le système d’équations se présente en tant que modèle SIS comme suit [39] :    S˙ = −iIS + gl ˙I = iIS − gl (2.2) Le modèle SIR Un compartiment (R) est ajouté pour désigner les individus qui se sont rétablis et ne peuvent plus être infectés, en considérant qu’un individu guéri soit immunisé. Le système peut être représenté graphiquement comme suit : FIGURE 2.1 – Illustration du modèle SIR [40]. Le système d’équations se présente ainsi qu’il suit :     S˙ = −βIS + gl ˙I = βIS − I λ R˙ = I λ (2.3)

Les modèles SEI, SEIS, SEIR et SEIRS

Dans la pratique, lorsqu’un individu susceptible est infecté par une maladie, s’écoule normalement un certain temps avant que des symptômes apparaissent et/ou que l’individu devienne contagieux. Afin de prendre en considération cet état, un nouveau compartiment E d’individus exposés à la maladie est introduit. Les individus se trouvant au sein du compartiment E deviendront éventuellement infectés à un taux k. Cela se traduit par le système d’équations :    S˙ = −iIS E˙ = iIS − kE ˙I = kE (2.4) Il s’agit d’un modèle de type SEI. Nous pouvons par ailleurs ajouter un tel compartiment d’individus exposés E aux autres modèles introduits précédemment et obtenir les modèles de type SEIS, SEIR et SEIRS.

Les automates

Les équations différentielles présentées précédemment intègrent les états du système étudié. Par ailleurs dans la modélisation des systèmes dynamiques, les transitions entre les états sont d’une grande importance tel que mentionné par [41]. Les automates permettent d’intégrer les notions d’état et de transition. Un automate est défini par : A = (X, S, ∆) Avec X représentant les entrées du système, S l’ensemble des états du système, et ∆ la fonction de transition entre les états du système. 

Les automates d’état fini

L’automate fini est défini par : Af = (Σ, S, δ, s0, F) — ς est l’alphabet du langage, — S est l’ensemble des états, considéré fini, — δ un ensemble de règles de transition, 21 Chapitre 2. Étude de quelques modèles — s0 est l’état initial, — F est un l’ensemble des états terminaux du système. F ⊆ S L’état suivant est fonction de l’état actuel et des éventuelles entrées du système. Les automates qui intègrent l’aspect temporel peuvent être utilisés pour spécifier les événements discrets. FIGURE 2.2 – Exemple de construction d’un automate d’états.

Les automates cellulaires

Les automates cellulaires voient le jour dans les années 40, ils sont l’oeuvre de Stanislas Ulham et John Von Neuman [42] qui souhaitaient formaliser le comportement des systèmes complexes. Ce type d’automate considère l’espace et le temps comme discrets. L’espace est bidimensionnel et divisé en cellules. L’état courant d’une cellule est déterminé par celui des cellules voisines et son état précédent, les cellules étant constituées de deux états (allumé et éteint). Les automates cellulaires, très utilisés, considèrent l’espace comme étant continu.