LES MODULES REFLEXIFS ET   DUALITE AU SENS DE MORITA

CATEGORIE ET FONCTEUR 

 INTRODUCTION 

Ce chapitre est une breve introduction au langage des catégories et des foncteurs, utile dans toutes les branches des mathématiques. On introduit seulement les notions minimales pour nos besoins. En effet dans cette Partie nous s’ intéressons d abord a la définition de catégorie et de quelque exemples de catégories . Nous parlerons également de la notion de foncteur covariant et de foncteur contravariant .De plus nous développons aussi dans cette partie une notion fondamentale en algebre homologique a savoir la notion de transformation naturelle ou de morphisme fonctoriel. Nous terminons cette partie par la notion de dualité entre deux catégorie quelconques. 

CATEGORIE 

Définition 1.1.1 Une catégorie C est définit par les données suivantes . (1) La donnée d ’une classe d’ objet noté Ob(C) . (2) Pour tout couple(M,N) d objet de C d’un ensemble noté HomC(M, N) :appelé l’ ensemble des morphismes de M dans N . Notation Si f ∈ HomC(M, N) alors on le note par f : M −→ N ou M f −→ N . (3) Pour tout triplé (M,N,P) d’objet de C d une application : HomC(M, N) × HomC(N, P) −→ HomC(M, P) (f, g) 7−→ g ◦ f g◦f ou gf est appelé morphisme composé de f suivi de g Vérifiant : Pour tout quadruplés (M, N, P, K) d objet de C . 8 (i) (M, N) 6= (P, K) alors HomC(M, N) T HomC(P, K) = ∅ . (ii) La composition des morphismes est associative, c’est a dire: si f ∈ HomC(M, N) , g ∈ HomC(N, P) et h ∈ HomC(P, K) (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) (iii) Pour tout M ∈ Ob(C) il existe un unique morphisme . 1M : M −→ M appelé morphisme identité tel que: (a) pour tout N ∈ Ob(C) et f ∈ HomC(M, N) ,on a f ◦ 1M = f (b) pour tout g ∈ HomC(N, M) 1M ◦ g = g

EXEMPLES

La categorie des ensembles noté Ens (i) Les objets sont des ensembles (ii) Soient A, B ∈ Ob(Ens) , HomEns(A, B) est l’ ensemble des applications de A dans B (iii) La composition des morphismes de Ens est la composition usuelle des applications . (iv) Si A, B ∈ Ob(Ens) et 1A : A −→ A a 7−→ a on a f ◦ 1A = f pour tout f ∈ HomEns(A, B) et 1A ◦ g = g pour tout g ∈ HomEns(B, A) (2)La catégorie des groupes Gr (i) Les objets sont les groupes . (ii) Si G et G 0 sont deux groupes ,HomAb(G, G0 ) :est l’ensemble des morphismes de G dans G 0 (iii) la composition des morphismes de Gr est la composition morphisme de groupe . (iv) Si G ∈ Ob(Ab) , 1G : G −→ G x 7−→ x est le morphisme identité du groupe G . (3)La catégorie des groupes abéliens noté Ab (i) Les objets sont les groupes abéliens. (ii) Si G et G 0 sont deux groupes abéliens ,HomAb(G, G0 ) :est l’ensemble des morphismes de G dans G 0 (iii) la composition des morphismes de Ab est la composition morphisme de groupe . 9 (iv) Si G ∈ Ob(Ab), 1G : G −→ G x 7−→ x est le morphisme identité du groupe abélien G . Définition 1.1.2 Une catégorie C 0 est une sous-catégorie d’une catégorie C s il vérifie les conditions suivantes . (1) Tout objet de C 0 est un objet de C . (2) Pour tout triplet (M 0 , N0 , P0 ) d’ objet de C 0 HomC 0(M 0 , N0 ) ⊂ HomC(M 0 , N0 ) (3) HomC 0(M 0 , N0 ) × HomC 0(N 0 , P0 ) −→ HomC 0(M 0 , P0 ) est la restriction de HomC(M 0 , N0 ) × HomC(N 0 , P0 ) −→ HomC(M 0 , P0 ) dans C 0 (4) Pour tout M 0 ∈ C0 ;le morphisme identité 1M0 ∈ HomC(M 0 , N0 ) (5) Si de plus HomC 0(M 0 , N0 ) = HomC(M 0 , N0 ): on dit alors que C 0 est une sous-catégorie pleine de C. EXEMPLE La catégorie des groupes abéliens notée Ab est un sous catégorie de la catégorie des groupes notée Gr. Définition 1.1.3 Soit C une catégorie. On appelle catégorie opposée de C la catégorie notée par C op dont les objets sont les mˆemes que ceux de C et telle que si M ,N sont des objets C op , on a HomC(N; M) = HomC op (M; N) . 

FONCTEUR 

Définition 1.2.1 Soient C et D deux catégories . On appelle foncteur covariant F : C −→ D la donnée : (i) Pour tout objet M de C d un objet F(M) de D . (ii) Pour M, N, P d objet de C et pour tout morphisme f : M −→ N d un morphisme F(f) : F(M) −→ F(N) de D . (iii) Si f : M −→ N et g : N −→ P sont deux morphismes de C alors : F(g ◦ f) = F(g) ◦ F(f) (iv) Pour tout M ∈ C: F(1M) = 1F(M) . 10 Proposition 1.2.1 Soient C une catégorie, Ens la catégorie des ensembles et U ∈ Ob(C) . HomC(U, −) : C −→ Ens et Pour tout M ,N ∈ Ob(C) ∈ Ob(C) (i) HomC(U, −)(M)= HomC(U, M) (ii) Pour tout morphisme f : M −→ N on a HomC(U, f) : HomC(U, M) −→ HomC(U, N) u 7−→ f ◦ u . alors HomC(U, −) est un foncteur covariant. preuve Soit M∈ Ob(C) (i) On a HomC(U, −)(M)= HomC(U, M) ∈ Ob(Ens) (ii) HomC(U, f) : HomC(U, M) −→ HomC(U, N) : u 7−→ f ◦ u f ∈ HomC(M, N) et u ∈ HomC(U, M) donc f ◦ u est bien définie (iii) Soit P ∈ Ob(Ens) Soient f : M −→ N et g : N −→ P deux morphismes de C HomC(U, −)(g ◦ f) = (g ◦ f) ∗ on a (g ◦ f) ∗ (u) = (g ◦ f) ◦ u= g ◦ f ◦ u = g ◦ f ∗ (u) = g(f ∗ (u)) = g ∗ ◦ f ∗ (u) HomC(U, −) (g ◦ f) = HomC(U, g) ◦ HomC(U, f) (iv) Soit M∈ Ob(C) et soit 1M : M −→ M m 7−→ m et HomC(U, −)(1M) = (1M) ∗ ⇒ (1M) ∗ (u) = 1M ◦ u = u . donc (i), (ii),(iii),(iv) montre HomC(U, −) est un foncteur covariant Définition 1.2.2 Soient C et D deux catégories .On appelle foncteur contravariant G : C −→ D la donnée : 11 (i) Pour tout objet M de C d un objet G(M) de D . (ii) Pour M, N, P d objet de C et pour tout morphisme f : M −→ N d un morphisme G(f) : G(N) −→ G(M) de D . (iii) Si f : M −→ N et g : N −→ P sont deux morphismes de C alors : G(g ◦ f) = G(f) ◦ G(g) . (iv) pour tout M ∈ C: G(1M) = 1G(M) Proposition 1.2.2 Soient C une catégorie et Ens la catégorie des ensembles et U ∈ Ob(C) . HomC(−, U) : C −→ Ens et Pour tout M ,N ∈ Ob(C) (i) HomC(−, U)(M)= HomC(M, U) (ii) Pour tout morphisme f : M −→ N on a HomC(f, U) : HomC(N, U) −→ HomC(M, U) u 7−→ u ◦ f . alors HomC(−, U) est un foncteur contravariant. preuve Soit M∈ Ob(C) (i) On a HomC(−, U)(M)= HomC(M, U) ∈ Ob(Ens) (ii) HomC(f, U) : HomC(N, U) −→ HomC(M, U) :u 7−→ u ◦ f f ∈ HomC(M, N) et u ∈ HomC(N, U) donc u ◦ f est bien définie (iii) Soit P ∈ Ob(Ens) Soient f : M −→ N et g : N −→ P deux morphismes de C HomC(−, U)(g ◦ f) = (g ◦ f) ∗ on a (g ◦ f) ∗ (u) = u ◦ (g ◦ f)= (u ◦ g) ◦ f = g ∗ (u) ◦ f = f ∗ (g ∗ (u)) = f ∗ ◦ g ∗ (u) HomC(−, U) (g ◦ f) = HomC(f, U) ◦ HomC(g, U) (iv) Soit M∈ Ob(C) et soit 1M : M −→ M: m 7−→ m et HomC(−, U)(1M) = (1M) ∗ ⇒ (1M) ∗ (u) = u ◦ 1M = u . donc (i), (ii),(iii),(iv) montre HomC(−, U) est un foncteur contravariant 12 Définition 1.2.3 Soient C , D et E des catégories . F : C −→ D et G : D −→ E deux foncteurs covariant respectivement contravariants. On définit le foncteur composé G ◦ F : C −→ E de la maniere suivante . (i) Pour tout M ∈ Ob(C) G ◦ F(M) = G(F(M)) . (ii) Soit f ∈ HomC(M, N) G ◦ F(f) = G(F(f)) . Proposition 1.2.3 Soient C , D et E des catégories . Si F : C −→ D et G : D −→ E sont deux foncteurs contravariants alors le foncteur composé G ◦ F est covariant. preuve (i) Soit M∈ Ob(C) ⇒ F(M) ∈ Ob(D) car F est foncteur contravariant. ⇒ G ◦ F(M) = G(F(M)) ∈ Ob(E) car G est un foncteur contravariant . (ii) Soient N∈ Ob(C) et f ∈ HomC(M, N) ⇒ F(f) ∈ HomD(F(N), F(M)) car F est un foncteur contravariant ⇒ G◦F(f) ∈ HomE (G◦F(M), G◦F(N)) car G est un foncteur contravariant (iii) Soient P∈ Ob(C) et f : M −→ N et : N −→ P deux morphismes de C G ◦ F(g ◦ f) = G(F(g ◦ f))= G(F(f) ◦ F(g)) car F est un foncteur contravariant . G ◦ F(g ◦ f) = G(F(f) ◦ F(g)) = G ◦ F(g) ◦ G ◦ (f) car G est un foncteur contravariant (iv) Soit M∈ Ob(C) G ◦ F(1M) = G(F(1M)) = G(1F(M)) = 1G◦F Définition 1.2.4 Soient C et D deux catégories et F et G deux foncteurs covariants de C dans D . Un morphisme fonctoriel ou transformation naturelle Φ : F −→ G est la donnée: (1) Pour tout M∈ Ob(C) d un morphisme ΦM : F(M) −→ G(M).