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 Processus stochastique

On appelle processus stochastique toute suite de variable aléatoire X = (Xt)t∈T définie sur (Ω, A ) et à valeurs dans (R, B(R)). Pour ω ∈ Ω fixé, l’application qui a t associe Xt(ω) est la trajectoire du processus associé à ω. Définition 1.2 (Martingale) [5] Un processus X est une Ft-martingale si pour tout t ∈ T : (i) Xt est Ft-mesurable, dans ce cas on dit que X est adapté à F, (ii) E|Xt | < ∞, (iii) E[Xt |Fs] = Xs, pour tout s < t. On peut remarquer que pour tout t ∈ T, EXt = EX0.  Définition 1.3 [5] Un processus X est un processus prévisible s’il est adapté à F et ses trajectoires sont continues à gauche. Définition 1.4 (Temps d’arrêt) [5] Une variable aléatoire T : Ω → [0, +∞] est un temps d’arrêt pour la filtration F si l’évènement {T ≤ t} ∈ Ft, pour tout t. Définition 1.5 (Martingale locale) [16] Un processus X continu à droite et adapté est une (Ft , P)−martingale locale s’il existe une suite de temps d’arrêt (Tn)n≥1 telles que : i) la suite {Tn} est croissant et limn Tn = +∞ p.s ; ii) pour tout n, le processus Xt∧Tn 1{Tn>0} est une (Ft , P)−martingale uniformément intégrable. Définition 1.6 [16]. Un processus A est à variation finie s’il est adapté et si les trajectoires t 7→ At(ω) sont finies, continues à droite et à variations finies pour presque tout ω. Définition 1.7 [16] Un processus X est à variation quadratique finie s’il existe un processus noté [X, X] tel que pour tout t et toute ∆n = {0 = t0 < t1 < · · · < tn = t} subdivision de [0, t], P − lim T ∆n t = [X, X]t lorsque |∆n| = sup i |ti − ti−1| → 0 , où T ∆n t = P i (Xti+1 − Xti ) 2 . [X, X] est la variation quadratique de X. Proposition 1.1 [16] Si M et N sont deux martingales, il existe [M, N] s’annulant en zéro tel que le processus MN − [M, N] est une martingale locale. Toutefois, pour tout t, pour toute subdivision ∆n de [0, t] telle que |∆n| → 0, P − lim sup s≤t | T˜∆n s − [M, N]s |= 0 où T˜∆n s = X ti∈∆n (Ms ti+1 − Ms ti )(N s ti+1 − N s ti ) CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRE 5 Définition 1.8 (Semi-martingale) [16] Une semi-martingale X est un processus qui peut être écrit sous la forme X = M + A, où M est une martingale locale et A est un processus à variation finie. Proposition 1.2 [16] Une semi-martingale X, telle que X = M + A, est à variation quadratique finie et [X, X] = [M, M]. Définition 1.9 [15] Soit X une semi-martingale telle que sa variation quadratique [X, X] est localement intégrable. Alors la variation quadratique conditionnelle de X, notée hX, Xi, existe et elle est définie comme étant le compensateur de [X, X]. C’est à dire, le processus tel que [X, X] − hX, Xi est une martingale locale. Remarque : Si X est continu alors [X, X] est aussi continu et [X, X] = hX, Xi. Définition 1.10 (Mouvement Brownien) [5] Un processus stochastique Wt est un mouvement Brownien ou un processus de Wiener standard si : (i) W0 = 0, (ii) Wt − Ws à accroissement indépendante c’est à dire si t1 < t2 < · · · < tn alors les variables aléatoires (Wtj − Wtj−1 ) sont indépendantes. (iii) Wt − Ws suit une loi normale N (0, t − s) (iv) E[WtWs] = inf(t, s) (v) [W, W]t = hW, Wit = t. Processus de Markov, [16] Définition 1.11 Soit (E, E) une espace mesurable. Un noyau N est une application de E × E dans R+ S {+∞} telle que : i) pour tout x ∈ E, l’application A −→ N(x, A) est une mesure positive sur E ii) pour tout A ∈ E, l’application x −→ N(x, A) est E-mesurable. Un noyau π est appelé probabilité de transition si π(x, E) = 1. Si f ∈ E+ et N un noyau ,on définit la fonction Nf sur E par Nf(x) = R E N(x, dy)f(y). Nf appartient à E+. Supposons maintenant qu’il existe un processus X pour lequel , pour tout s < t, il existe une probabilité de transition notée Ps,t telle que P[Xt ∈ A|σ(Xµ, µ < s)] = Ps,t(Xs, A) p.s. Alors pour tout f ∈ E+, on a E[f(Xt)|σ(Xµ, µ < s)] = Ps,tf(Xt). Définition 1.12 Une fonction de transition notée ft sur (E, E) est une famille Ps,t, 0 ≤ s < t, de probabilité de transition sur (E, E) telle que pour tout nombre réels s < t < ν, on a Z Ps,t(x, dy)Pt,ν(y, A) = Ps,ν(x, A), pou tout x ∈ E et tout A ∈ E. Cette relation est connue comme l’équation de ChapmanKolmogorov. Définition 1.13 (processus de Markov) Soit (Ω, A,(Gt), Q) un espace de probabilité filtré. Un processus adapté X est un processus de Markov sous la filtration (Gt), avec fonction de transition (Ps,t), si pour tout f ∈ E+ et pour tout (s, t) tel que s < t on a E[f(Xt)|Gs] = Ps,tf(Xs) Q p.s. La mesure de probabilité X0(Q) est appelée la distribution initiale de X. Soit T un (Ft)-temps d’arrêt. Nous définissons XT sur Ω telle que XT = ∆ sur {T = +∞}. XT est (FT )-mesurable et c’est la position du processus au temps T . On définit aussi l’application θT : Ω → Ω par θT (ω) = θt(ω) si T (ω) = t CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRE 7 = ω∆ si T (ω) = +∞ où ω∆ est la trajectoire identiquement égale à ∆. Proposition 1.3 (Propriété de Markov forte) Si Z est une variable aléatoire F∞−mesurable et positive(ou bornée) et T un temps d’arrêt, pour toute distribution initiale υ Eυ[Z ◦ θT | FT ] = EXT [Z] Pυ p.s. sur l’ensemble {XT 6= ∆} Théorème de classe monotone [1] Définition 1.14 Une classe P de parties de Ω est appelée un π-système si elle est stable par intersections finies. Définition 1.15 Une classe L de parties de Ω est appelée un λ-système si elle vérifie i) Ω ∈ L , ii) Si A, B ∈ L et A ⊂ B alors B\A ∈ L , iii) Si {An} ⊂ L et An ↑ A alors A ∈ L . Théorème 1.1 (Théorème π − λ) Soit P un π-système et L un λ-système tels que P ⊂ L . Alors σ(P) ⊂ L Théorème 1.2 (Théorème des classes monotones) Soit P un π-système, G = σ(P) et H une classe de variables aléatoires réelles qui verifie : i) 1Ω ∈ H et pour tout A ∈ P, 1A ∈ H ii) H est un espace vectoriel, iii) si {Xn} ∈ H , Xn ↑ X et X est finie [respectivement bornée] alors X ∈ H . Alors H contient toutes les variables aléatoires réelles G -mesurables [respectivement toutes les variables aléatoires réelles G -mesurables et bornées].

Intégrale stochastique

Soit X une semi-martingale sous la loi de probabilité P. Définition 1.16 [16] Soient K un processus localement borné et continu à gauche et (∆n) une suite de subdivision de [0, t] telle que |∆n| → 0. On définit l’intégrale stochastique Z t 0 KsdXs = P − limn→∞ X ti∈∆n Kti (Xti+1 − Xti ). Notons : • Xs− = limt%s Xt (t < s) • ∆Xs = Xs − Xs− On définit aussi le processus [X, X] c , la partie continue de [X, X], tel que [X, X]t = [X, X] c t + X 0≤s≤t (∆Xs) 2 et [X, X] c 0 = 0. Théorème 1.3 (Formule d’Itô) [15] Soit X = (X1 , X2 , …, Xd ) une semi-martingale vectorielle et soit f ∈ C2 (R d , R). Alors f(X) est aussi une semi-martingale et f(Xt) − f(X0) = X d i=1 Z t 0 ∂f(Xs−) ∂xi dXi s + 1 2 X 1≤i,j≤d Z t 0 ∂ 2 f(Xs−) ∂xi∂xj d[X i , Xj ] c s + X o≤s≤t {f(Xs) − f(Xs−) − X d i=1 ∂f(Xs−) ∂xi ∆X i s}. (1.1) En particulier en prenant f(Xt) = X2 t on a X 2 t = X 2 0 + 2 Z t 0 Xs−dXs + [X, X]t . (1.2) Ainsi ∆[X, X] = (∆X) 2 . (1.3) CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRE 9 En effet, (∆X) 2 s = (Xs − Xs−) 2 = X 2 s− − 2Xs−Xs + X 2 s = X 2 s − X 2 s− − 2Xs−(Xs − Xs−) = ∆(X 2 s ) − 2Xs−∆Xs = ∆[X, X]s de l’equation (1.2). Théorème de Girsanov Soit Q une autre mesure de probabilité sur (Ω, A ). Définition 1.17 [15]On dit que Q est absolument continu par rapport à P si pour tout A ∈ A tel que P(A) = 0 alors Q(A) = 0. Nous notons Q  P. On dit aussi que P et Q sont équivalentes si Q  P et P  Q. On peut remarquer que toute semi-martingale sous P est une semi-martingale sous Q. Si Q  P, alors il existe une variable aléatoire Z ∈ L 1 (Ω, A , P) telle que dQ dP = Z et EP(Z) = 1 où EP est l’espérance par rapport à P. Soit Zt = EP{ dQ dP |Ft}, alors Z est une martingale uniformément intégrable et par conséquent une semi-martingale. Lemme 1.1 [2] Supposons que P et Q sont équivalentes et Zt = EP{ dQ dP |Ft} . Un processus M adapté et càdlàg (continu à droite et admettant une limite à gauche) est une martingale locale sous Q si et seulement si MZ est une martingale locale sous P. Théorème 1.4 (Théorème de Girsanov) [2]Supposons que P et Q sont équivalentes. Soit M une martingale locale sous P avec M0 = 0. (a) M est une martingale spéciale sous Q si et seulement si hM, Zi existe et alors la décomposition canonique de M par rapport à Q est Mt = (Mt − Z t 0 1 Zs− dhM, Zis) + Z t 0 1 Zs− dhM, Zis (1.4)  où le premier terme est une martingale locale sous Q et le second est prévisible et à variation finie. (b) Dans tous les cas, le processus Mt − Z t 0 1 Zs− d[M, Z]s (1.5) est une martingale locale sous Q 

Marché financier

Définition 1.18 [1] Un titre est un instrument (certificat ou inscription en compte) représentatif d’un droit de créance et confère à son titulaire la propriété de la créance. Dans le langage boursier, le titre est souvent utilisé comme synonyme de valeur mobilière. Définition 1.19 [5] Un actif financier est un droit, le cas écheant matérialisé par un titre à la perception future d’une ou plusieurs sommes d’argent. Définition 1.20 [5] Un marché financier est un marché oú s’opèrent les transactions sur les actifs financiers. Définition 1.21 [5] Un portefeuille est un ensemble d’actifs financiers dont les revenus conditionnels sont des combinaisons linéaires de ces actifs financiers purs qui les composent. Définition 1.22 [5] Un produit dérivé ou un actif conditionnel est un instrument financier qui s’achète ou se vend et dont la valeur dérive de celle d’autres actifs financiers de base. Ces actifs sont appelés actifs sous-jacents ou support du produit dérivé. Exemples des produits dérivés : options, contrat à terme. Exemples des actifs sous-jacents : des actions, des obligations, des matières premières, des CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRE 11 devises, des taux d’intérêts, etc. Dans la suite, considérons un marché sur lequel on a une valeur mobilière comme une action et Yt le prix au temps t de la valeur mobilière défini sur (Ω, A , P).