Matériaux hétérogènes par le modèle de Cosserat

Très tôt, certains auteurs ont proposé de remplacer un milieu composite par un milieu homogène de Cosserat afin d’améliorer la prévision de la réponse des structures à des sollicitations complexes (Besdo, 1985). Une telle procédure d’homogénéisation systématique a été proposée plus récemment par (Forest and Sab, 1998a). On a chois de commencer par expliciter ces travaux car les développements de ma thèse en constituent une extension. Dans l’homogénéisation classique, un matériau hétérogène dont la micro-structure est périodique, est remplacé par un matériau homogène équivalent. Cependant, cette méthode n’est valable que dans le cas o`u la taille caractéristique de la micro-structure est très petite devant celle de la structure en considération. Il faut remarquer que le matériau hétérogène et son matériau homogène équivalent sont considérés en tant que milieux classiques autrement dit milieux de Cauchy ou brièvement milieu continu, qui est très connu dans les ouvrages de mécanique. Pour modéliser plus précisément le comportement des matériaux, on a donné autre modèles plus riches en terme de cinématique du point matériel. Dans ces modèles, les degrés de liberté à chaque point sont plus de trois (comme dans le milieu classique). Le nombre des degrés de liberté sont 6, 9, etc en fonction de modèle. Mais il y toujours les 3 ddls du milieu classique (le vecteur de déplacement) et de nouveaux degrés de liberté sont introduits. Il y a aussi des travaux sur l’homogénéisation dans lesquels le matériau hétérogène initial et le matériau homogènes équivalent final sont tous modélisés par des modèles généralisés. Dans cette thèse, il ne sera pas question de ce type d’approches, cf. (Forest et al., 2001). Dans la référence (Forest and Sab, 1998a), les auteurs émettent l’idée de remplacer un matériau hétérogène qui est considéré comme un milieu classique, par un matériau équivalent qui est modélisé par un modèle de Cosserat. Pour bien illustrer leur idée, ils donnent un exemple de l’homogénéisation d’un matériau sandwich dont le cœur est beaucoup plus raide que les peaux. De plus, pour simplifier le problème, le schéma de l’homogénéisation est donné sur un problème plan. Nous détaillons cette approche dans la suite.

Cinématique

L’objet de l’article est de remplacer un matériau composite au niveau local par un matériau homogène généralisé équivalent (MHGE). Le modèle de remplacement choisi est celui de Cosserat homogène. Le matériau hétérogène est modélisé de fa¸con classique avec toutes ses hétérogénéités au niveau local. Les degrés de liberté (ddls) connnus dans la mécanique des milieux continus sont : u = u1e 1 + u2e 2 dans le cadre des problèmes 2D. Ces ddls existent aussi dans le modèle de Cosserat à côté des nouveaux degrés de liberté : Φ = Φ3e 3 qui désigne la micro–rotation du point matériel, une seule composante en 2D. Pour remplacer le matériau composite par un MHGE de Cosserat, il faut trouver la relation entre les nouveux ddls du matériau généralisé et les ddls classiques du milieu hétérogène. Le principe pour résoudre ce problème est de minimiser l’écart entre les champs locaux et globaux. Il se transforme en un problème de minimisation de l’intégrale : Z x1=X1+ l 2 x1=X1− l 2 Z x2=X2+ l 2 x2=X2− l 2 | u(x ) − U (X ) − Φ (X ) ⊗ (x − X ) | 2 dx1dx2 (3.1) o`u la cellule élémentaire, Vl , du matériau considéré comme périodique est supposée carrée de côté l. Cette formule indique que l’on approche le champ réel local dans la cellule, u(x ) par un mouvement de corps rigide caractérisé par le déplacement macroscopique U et la rotation infinitésimale Φ autour du centre de la cellule X . ele de Cosserat elisation des mat´ 3.1. MODELISATION DES MAT éRIAUX H éTéROG éNES PAR LE MOD ` ELE DE COSSERAT ` 31 Les calculs simples nous donnent : U (X ) = < u >Vl(X ) (3.2) ∇XU (X ) = < ∇xu >Vl(X ) Φ(X ) = 6 l 2 < (x − X ) ⊗ u >Vl(X ) K = ∇Φ = ∂Φ ∂X1 e 1 + ∂Φ ∂X2 e 2 = 6 l 2 < ∇x((x ⊗ u).e 3 ) >Vl(X ) − 6 l 2 ∇X((X ⊗ U ).e 3 ) et les champs de déformation : ε∼ (x ) = 1 2 (∇∼ x u + ∇∼ t x u)(x ) E∼ (X ) = 1 2 (∇∼ XU + ∇∼ t XU )(X ) Ω = 1 2 ( ∂U2 ∂X1 − ∂U1 ∂X2 e 3 ) = Ω(X )e 3 On voit que le déplacement macroscopique est la moyenne de déplacements sur la cellule élémentaire. La rotation de Cosserat est définie comme un moment de la distribution de déplacements dans la cellule. C’est une information indépendante de la moyenne de déplacement et non prise en compte en homogénéisation classique. Nous étudions le cas d’un champ de déplacement polynomial d’ordre 3 par rapport aux variables ˜x = x/l : ui = Ai+Bi1x˜1+Bi2x˜2+Ci1x˜ 2 1+Ci2x˜ 2 2+2Ci2x˜2x˜2+Di1x˜ 3 1+Di2x˜ 3 2+3Di3x˜ 2 1x˜2+3Di4x˜1x˜ 2 2 (3.3) Sous les conditions : – Φ est affine par rapport à X – E∼ (X) =< ε∼ >Vl est en ordre 2. Cette condition est appelée la condition de l’invariance d’échelle. L’expression du triplet est obtenue : – E∼ (X) =< ε∼ (X) >Vl – (Φ − Ω)(X) = D12 10l – K (X) = C21−C13 l 2 e 1 + C23−C12 l 2 e 2 Dans ces expressions du triplet ( E∼ , Ω – Φ , K ), les constantes dans l’expression de déplacement (3.3) ne sont pas toutes prises, autrement dit, elles sont indéterminées après l’application de condition de l’invariance d’échelle. Par conséquent, le champ de déplacement se réduit (Forest and Sab, 1998a) : u ∗ 1 = B11x˜1 + B12x˜2 − C23x˜ 2 2 + 2C13x˜1x˜2 + D12(˜x 3 2 − 3˜x 2 1x˜2). u ∗ 2 = B12x˜1 + B22x˜2 − C13x˜ 2 1 + 2C23x˜1x˜2 − D12(˜x 3 1 − 3˜x1x˜ 2 2 ).

Homogénéiser des matériaux hétérogènes en utilisant le modèle du second gradient comme MHGE

Nous nous intéressons ici à la contribution (Kouznetsova et al., 2002a). Pour commencer l’article, l’auteur a mentionné plusieurs méthodes d’homogénéisation et cite les points forts de la méthode d’homogénéisation basée sur des calculs élémentaires sur une cellule unitaire de milieu périodique : – Ne pas demander une hypothèse préalable de la loi globale de comportement. – Permettre d’intégrer les grandes déformations à tous les deux niveaux : microscopique et macroscopique. – Permettre de prendre en compte n’importe quel comportement local du matériau, y compris les réponses non-linéaires ou dépandantes du temps. – Etre capable d’introduire les informations détaillées sur la microstructure, inclus les évolutions géométriques et physiques de la micro–structure pour l’analyse macroscopique. – Autoriser l’usage d’une technique quelconque de modélisation, e.g éléments finis, transformées de Fourier, méthodes de cellule Voronoi… Les points faibles des techniques d’homogénéisation classique sont également montrés : – Elle ne prend pas en compte de la taille absolue de la microstructure bien qu’elle prenne en compte la fraction volumique, la distribution et la morphologie des composantes microscopiques. – Il est impossible d’appliquer cette méthode sans imposer l’hypothèse de séparation d’échelle. Cette dernière ne se présente pas dans de nombreux matériaux, comme indiqué dans l’article (Boutin, 1996a). L’article mentionne également la comparaison entre deux schémas de l’homogénéisation : classique et second-ordre. Ils sont illustrés comme l’indique la figure 3.2, avec M, m désignant successivement l’échelle macroscopique et microscopique ; F∼ , G∼ , P∼ , Q∼ désignent successivement le tenseur de déformation et le tenseur d’ordre 3 du gradient de déformation, le premier tenseur des contraintes Piola-Kirchoff et le tenseur des contraintes à l’ordre supérieur.

Effets de taille

La dépendance des contraintes de premier ordre Piola-Kirchoff et d’ordre supérieur par rapport à la taille de la micro-structure (dans ce cas le diamètre des vides dans VER), est egalement montrée dans (Kouznetsova et al., 2002a). Une valeur scalaire est utilisée comme la mesure équivalente afin de simplifier le calcul : P eq M = (PM ijPM ij ) 1/2 Q eq M = (QM ijkQM ijk) 1/2 Cet effet est mentionné plus en détail dans l’article (Kouznetsova et al., 2004b). Le résumé de ce dernier est contenu dans le paragraphe 3.3. 

La taille du VER dans l’homogénéisation au second ordre

Dans ce paragraphe, on fait un résumé sur le contenu de (Kouznetsova et al., 2004b), dans lequel l’auteur a remarqué le rôle intrinsèque du choix de la taille du VER dans l’homogénéisation au second ordre des milieux périodiques. Le schéma d’homogénéisation dans (Kouznetsova et al., 2002a) est de nouveau utilisé dans cette contribution. Le rôle de la taille du VER dans l’homogénéisation classique est montré. Dans un milieu aléatoire, si un volume élémentaire ne contient pas suffisamment les informations microstructurales, sous différentes conditions aux limites, i.e condition de déplacement homogène (KUBC) ou conditions en contraintes, les propriétés globales trouvées sont définis “apparentes”. Si on augemente de plus en plus le nombre de cellules élémentaires contenues dans le volume sur lequel les propriétés effectives classiques sont évaluées, les propriétés apparentes obtenues pour différentes conditions, convergent à une valeur “effective” comme l’indique la figure 3.9. Dans cet article, l’auteur présente l’influence de la taille de VER via une micro-structure simple périodique. Le VER en considération est une cellule carrée avec un vide rond au centre. Mais d’abord une analyse par éléments finis sur un VER homogène modélisé par le milieu de Cauchy, met en évidence la relation entre sa taille de VER h et la longueur caractéristique l du milieu second-gradient homogène de substitution. Puis, le calcul par éléments finis sur le VER poreux est réalisée pour montrer l’influence du choix de la taille h non seulement dans le cas élastique mais aussi dans le cas élasto-plastique.