Mesures d’occupation et relaxations semi-définies pour la commande optimale

Approximation polynomiale

Rappelons l’Exemple 1.2 et relâchons-le sous la forme du Problème 4.7. On obtient pour ce problème que G(t) = t(1 − t), (4.36) de sorte que toutes ses données sont polynomiales. Comme toutes les mesures du problèmes sont univariées, les résultats de §2.3.5 montrent que la première relaxation semi-définie, d’ordre r0, est nécessaire et suffisante. Malheureusement, les problèmes où G(t) ∈ R n×m[t] sont très restrictifs, requérant une chaîne d’intégrateurs comme dynamique et une matrice B(t) à entrées polynomiales. Dans cette section, une méthode d’approximation polynomiale est développée, permettant de lever cet obstacle pour l’implémentation numérique. Les deux opérations à réaliser sont : 1. L’intégration numérique de l’ODE x˙(t) = A(t) x(t) pour obtenir F(t); 2. La résolution du système F(t) G(t) = B(t), pour obtenir G(t) sous forme polynomiale. Ceci peut être effectué de deux manières. Premièrement, il peut exister une solution analytique connue de l’ODE. C’est notamment le cas si A est constante, et la solution s’obtient alors comme une exponentielle de matrice. L’inversion peut alors aussi s’effectuer analytiquement. Le problème d’approximation consiste alors à approcher G analytique le plus fidèlement possible sur [a, b]. L’autre possibilité est que l’ODE n’a pas de solution analytique connue. Il faut alors trouver un polynôme approchant la solution de l’ODE et l’inverser numériquement pour trouver une approximation numérique de G. Le logiciel choisi en pratique pour ces opérations est Chebfun [TT11] car • Le logiciel se base sur les interpolations polynomiales aux nœuds de Tchebychev, qui offrent un bon compromis entre efficacité numérique et qualité d’interpolation ([Tre13] présente une introduction très didactique sur le sujet) ; 3Bien évidemment, vu les solveurs auto-duaux utilisés pour résoudre les problèmes semi-définis, le problème dual est résolu implicitement. • Pour ce choix d’approximation, on obtient directement les coefficients exprimés dans la base des polynômes de Tchebychev, dont la matrice des moments est nettement mieux conditionnée numériquement si l’on veut recouvrer un grand nombre d’impulsions, voir §2.4.2 ; • L’intégration numérique peut se faire aisément par deux méthodes différentes, permettant une certaine flexibilité de résolution. La fonction linop permet en effet de résoudre l’équation différentielle en calculant l’opérateur linéaire associé et en l’appliquant aux termes de forçage (nuls dans notre cas). La fonction ode45 permet quant-à elle de trouver une approximation polynomiale de la solution de l’équation différentielle intégrée numériquement par une méthode de Runge-Kutta ; • Il est aisé de programmer des problèmes dont les définitions peuvent être assez compliquées, voir par exemple le traitement du rendez-vous spatial en §4.3 ; • Sa disponibilité en tant que boîte à outil Matlab permet un interfaçage rapide avec un grand nombre de solveurs semi-définis. Soit donc Gd(t) l’approximation sur d noeuds de Tchebychev de G(t). On ne considèrera pour la suite que les erreurs introduites par cette approximation, en prenant comme hypothèse que l’erreur introduite par l’éventuelle intégration numérique et les manipulations algébriques est négligeable. Il est dès lors possible de caractériser l’erreur ed := kGd−Gk∞ introduite par l’approximation polynomiale. En effet, il est bien connu dans la théorie de l’approximation que la régularité de G(t) conditionne fortement l’erreur. Nous rappelons les résultats suivant qui peuvent se consulter facilement dans [Tre13] : • Pour G(t) k fois continûment différentiable, ed = O(d −k ) lorsque d → ∞ : l’erreur décroît de manière polynomiale ; • Pour G(t) k fois différentiable et dont la k-ième dérivée est de variation bornée, ed = O(d −k ) : l’erreur décroît de manière polynomiale de la même manière que pour les fonctions continûment différentiables ; • Pour G(t) analytique, il existe un ρ positif tel que ed = O(ρ −d ) : l’erreur décroît de manière exponentielle. On en déduit directement certaines conditions suffisantes de régularité sur A(t) et B(t) –celles-mêmes énoncées dans les hypothèses du Problème 4.1– pour garantir la convergence asymptotique de l’erreur d’approximation vers zéro quand le nombre de nœuds est augmenté : Proposition 4.11 Soit A(t) à variation bornée sur [a, b] et B(t) une fois différentiable avec dérivée à variation bornée. Alors, lim d→∞ ed → 0. (4.37) Nous montrons maintenant que lorsque l’erreur d’approximation tend vers 0, on peut construire une hiérarchie de problèmes approchés, chacun à données polynomiales et donc résoluble numériquement par des conditions semi-définies exposées en §2.3.5, et dont le coût tend vers J. Pour tout d, on note donc par ed la valeur connue de l’erreur d’approximation. 

Applications au rendez-vous orbital

 Nous appliquons la méthode développée dans ce chapitre au cas du rendez-vous orbital, une des motivations technologiques de la commande impulsionnelle. Ceci permet de comparer la méthode par rapport à une approche directe standard. 

 Présentation du problème 

Nous prenons le cas du rendez-vous orbital dans un champ gravitationnel linéarisé, où l’on veut minimiser la consommation tout en rejoignant deux états en un temps prescrit. Dans ce problème, un satellite « chasseur », commandé, doit rejoindre un satellite « chassé » suivant une trajectoire de référence donnée. Une présentation générale de ce problème peut-être trouvée en [AKZLD11], où une méthode indirecte basée sur le vecteur efficacité5 est utilisée pour le résoudre. En prenant comme hypothèse un mouvement Képlérien et une orbite de référence elliptique, le problème peut être découplé en un problème hors-plan à deux états, dont la solution analytique est connue, et un problème plan à quatre états. C’est ce problème plan qui sera étudié par la suite, basé sur les équations de TschaunerHempel [TH65]. Le problème de commande optimale associé a donc un vecteur d’état de dimension n = 4, composé des positions relatives des satellites dans les composantes X~ et Z~ du repère LVLH [LADBP11] suivies de leur dérivées temporelles, et d’un vecteur de contrôle à m = 2 composantes 6 , l’une dans la composante X~ du repère et l’autre dans la composante Z~.

 Application à la mission PRISMA

Pour valider l’approche, nous nous baserons sur la description d’une mission du démonstrateur technologique PRISMA, tiré de [BDGD11]. La manœuvre proposée est posée sur 14.25 périodes orbitales, de 5920s chacune. Pour ce problème, G(t) peut être approchée en dessous de la résolution numérique de 10−8 des solveurs semi-définis par un polynôme de degré 100. Ceci permet de résoudre le problème à la précision numérique souhaitée par une relaxation d’ordre 50. Pour comparaison, nous utilisons une méthode directe tirée de [ML08, LADBP11], où l’on se fixe une grille donnée de temps d’impulsions. Ceci permet d’exploiter les résultats de §4.2.1 pour obtenir un Problème d’optimisation Linéaire (PL). Il est à noter que la qualité de la solution dépend fortement de le grille imposée, et que les solutions d’un tel algorithme sont forcément sub-optimales. La Table 4.3 reprend les résultats pour l’approche par les moments et la méthode directe s’appuyant sur la programmation linéaire. On constate que l’approche par les moments est légèrement moins rapide, mais permet d’obtenir la solution globale. En appliquant les méthodes d’extraction de solution exposées en §2.3.2, on retrouve la solution donnée par l’approche directe.