Méthodes d’analyse temps-fréquence et temps-échelle

La représentation temporelle et la représentation fréquentielle, bien que contenant toute l’information relative au signal ne mettent pas toujours en évidence toutes les caractéristiques fines de ce signal. La plupart des signaux du monde réel ne sont pas stationnaires, et c’est justement dans l’évolution de leurs caractéristiques (statistiques, fréquentielles, temporelles, spatiales) que réside l’essentiel de l’information qu’ils contiennent. Les signaux vocaux et les images sont à ce titre exemplaires.

L’analyse de Fourier propose une approche globale du signal, les intégrations sont faites de moins l’infini à plus l’infini, et toute notion de localisation temporelle (ou spatiale pour des images) disparaît dans l’espace de Fourier ; il faut donc trouver un compromis, une transformation qui renseigne 7 8 2. De l’analyse de Fourier sur le contenu fréquentiel tout en préservant la localisation afin d’obtenir une représentation temps-fréquence ou espace-échelle du signal. Une première approche consiste à une amélioration de la transformée de Fourier à travers la transformée de Fourier à fenêtre glissante.

Représentation de Fourier

Série de Fourier, Transformée de Fourier Considérons une fonction f(t) ∈ L 2 ([−T/2, T/2]). On définit ses coefficients de Fourier par : ˆf[k] = 1 T Z T /2 −T /2 f(t)e −i2πkt/T dt (2.1) et sa série de Fourier par : Sf = X k∈Z ˆf[k]e i2πkt/T (2.2) L’un des résultats centraux de la théorie des séries de Fourier est que la famille  1 T e i2πkt/T est une base hilbertienne de L 2 ([−T/2, T/2]) et donc qu’au sens de la convergence L 2 : f = X k∈Z ˆf[k]e i2πkt/T (2.3) La transformée de Fourier définie sur L 2 (R) peut être vue comme un passage à la limite sur T des séries de Fourier. L’analogue du coefficient de Fourier est la transformée de Fourier : ˆf(ω) = Z Z f(t)e −iωtdt (2.4) où ω est l’analogue de 2πk/T.

L’égalité de f et de sa série de Fourier se transforment en une formule de reconstruction de f à partir de ˆf au sens de L 2 : f(t) = 1 2π Z Z ˆf(ω)e iωtdt (2.5) Cette analogie est plus que formelle et on peut montrer à l’aide de la théorie des distributions qu’il s’agit en fait de la même chose ! Celle-ci permet de définir la transformée de Fourier d’une fonction périodique et l’on obtient une distribution qui vaut 0 sauf aux points 2πk/T où l’on trouve un Dirac dont le poids est exactement le coefficient de Fourier ck. Réciproquement, la transformée de Fourier d’une telle distribution, dite échantillonnée à un pas 2π/T, donne une fonction T périodique. 

Représentation de Fourier

Transformée de Fourier

Discrète Dans la pratique, on a jamais accès à une fonction f qu’elle soit de L 2 (R) ou de L 2 ([−T/2, T/2]) mais seulement à un nombre fini d’échantillons f[k] = f(kδ) où k ∈ [0, N − 1] et δ est un pas d’échantillonage. Comment définir une transformée de Fourier d’un tel signal ? Une idée simple est de voir f[k] comme les échantillons d’une fonction Nδ-périodique, et de définir des coefficients de Fourier à l’aide d’une somme de Rieman [Rad68] : ˆf[k] = 1 N N X−1 l=0 f[l]e −2iπklδ/T = 1 N N X−1 l=0 f[l]e −2iπkl/N (2.6)

On vérifie aisément que f[k] est périodique de période N et que cette décomposition correspond en fait à la décomposition dans la famille orthogonale définie par :  e i2πkl/N k ∈ [0, N − 1] (2.7) Ceci donne alors immédiatement une formule de reconstruction : f[k] = N X−1 l=0 ˆf[l]e 2iπkl/N (2.8) On démontre cette formule par le calcul directe : PN−1 l=0 ˆf[l]e 2iπkl/N = 1 N PN−1 l=0 PN−1 j=0 ˆf[j]e 2iπjl/N e −2iπkl/N PN−1 l=0 ˆf[l]e 2iπkl/N = 1 N PN−1 l=0  f[k] + PN−1 j=0 j6=0 ˆf[j]e 2iπjl/N e −2iπkl/N  PN−1 l=0 ˆf[l]e 2iπkl/N = f(k) + PN−1 j=0 j6=k ˆf[j] PN−1 l=0 e 2iπ(j−k)l/N  PN−1 l=0 ˆf[l]e 2iπkl/N = f[k] La dernière ligne s’obtient en appliquant l’égalité x ∈ C\ {1}, PN−1 j=0 x j = 1−xN 1−x pour x = e 2iπ(j−k)l/N (avec j /∈ k).

Remarque 2.2.1 Lorsque l’on calcule numériquement une transformée de Fourier, il faut bien faire attention au fait que c’est en effet la transformée de Fourier Discrète de la périodisation d’une restriction de f échantillonnée qui est calculée ! 10 2. De l’analyse de Fourier 2.2.3 Transformée de Fourier Rapide La FFT – Fast Fourier Transform – [CLW69] est un algorithme rapide permettant de calculer la Transformée de Fourier Discrère de f, c’est à dire les N coefficients ˆf[k] à partir des f[k] observés. L’algorithme en question requiert O(NlogN) multiplications au lieu des O(N2 ) de l’algorithme naïf.

Pour l’algorithme naïf on doit calculer N coefficients, et chaque calcul nécessite N multiplications et N sommes, si l’on utilise la définition de la transformée discrète. Par une stratégie « diviser pour mieux régner » on va illustrer comment on peut diminuer ce coût. Supposons que N est paire : N = 2M. Notons g et h les deux fonctions M périodiques définies de la manière suivante : (g[1], …, g[M]) = (f[0], f[2], …, f[2M − 2]) (h[1], …, h[M]) = (f[1], f[3], …, f[2M − 1]) Remarquons alors : gˆ[k + M] = ˆg[k] et hˆ[k + M] = hˆ[k]. Ecrivons ωM = e 2iπ/M (ce qui donne ω M M = 1) pour simplifier les notations. On calcule la transformée en k0 de la manière suivante : ˆf[k0] = 1 2M P2M−1 k=0 f[k]ω kk0 2M = 1 2M PM−1 k=0 f[2k]ω 2kk0 2M + 1 2M PM−1 k=0 f[2k + 1]ω (2k+1)k0 2M (termes paires / impaires) = 1 2M PM−1 k=0 f[2k]ω 2kk0 2M + ω k0 2M 2M PM−1 k=0 f[2k + 1]ω (2k)k0 2M Ce qui donne selon la valeur de k0 la formule : ˆk0 =    1 2  gˆ[k0] + ω k0 2Mhˆ[k0]  si 0 ≤ k0 ≤ M − 1 1 2  gˆ[k0 − M] + ω k0 2Mhˆ[k0 − M]  si M ≤ k0 ≤ 2M − 1 (2.9)

Notons C(n) le nombre de multiplications nécessaires pour calculer une transformée d’un signal ayant n échantillons. On observe alors la récurrence : C(2n) = 2 ∗ C(n − 1) + 3n − 2. (2.10) On a besoin de calculer la transformée discrète de g et h (coût : 2C(n)), pour chacun des n indices, on a une multiplication par le terme 1 2 et une multiplication par le terme ω k0 2M (coût : 2n). Enfin le calcul des n termes ω 0 n , …, ωn−1 n s’obtient en calculant ωn, puis 2.3. Transformée de Fourier à Fenêtre 11 par multiplication successive par ce terme on obtient les autres n − 1 (coût : n − 2). Pour les puissances de 2 la récurrence s’écrit : C(2n) = 2C(2n−1 ) + O(n). (2.11) On en déduit que C(2n ) = O(n2 n ). (2.12) C’est l’ordre de grandeur attendu. On généralise en complétant le signal par des zéros pour arriver à la puissance de 2 immédiatement supérieure. L’ordre de grandeur reste en O(Nlog(N)).