Approches multi-échelles

Afin d’optimiser la résolution de problèmes à grande échelle, très coûteuse numériquement, des méthodes de type multi-échelles ou multi-modèles ont été développées. Elles se décomposent en deux grandes catégories : les méthodes d’analyse multi-échelles micro/macro et celles de couplage avec échange d’information à l’interface.— les méthodes avec des corrections locales, qui prennent en compte de façon itérative la contribution du modèle local sur le modèle global en assurant l’égalité des inconnues (déplacement, force, contrainte, déformation) à l’interface. On compte par exemple la méthode variationnelle Multi-échelle (VMS) [83], la méthode des modèles hiérarchiques (HDPM) [122] pour les modèles très hétérogènes, ou la méthode bridging scale [162] ;— les méthodes de zoom numérique qui utilisent des patchs d’éléments finis [65, 105, 129]. La solution d’un problème est calculée sur un maillage grossier. L’imprécision venant du maillage grossier est outrepassée en ajoutant des patchs locaux simples et avec un maillage raffiné. Les maillages locaux et globaux n’ont pas besoin d’être compatibles à l’interface. Cette méthode permet d’éviter le raffinement local classique en plaçant un ou plusieurs patchs sur le domaine global. La convergence de la méthode dépend du ratio entre la taille du maillage du patch et celle du maillage global. Un exemple de patch local recouvrant une partie du domaine global est montré sur la Figure 2.1Néanmoins toutes ces méthodes peuvent difficilement être utilisées dans des simulations multi-échelles industrielles à cause de leur haut niveau d’intrusivité dans les codes utilisés. En effet ces méthodes reposent sur des corrections afin de définir l’intégralité des échelles dans un seul modèle ce qui n’est pas facile à mettre en place dans les codes industriels.

Méthodes de couplage avec transfert d’information à l’interface

La deuxième catégorie de méthodes qui a émergé pour la résolution de simulation multi- échelles est celle des méthodes de couplage de modèles avec transfert d’information à l’interface. Ces méthodes sont particulièrement intéressantes dans le contexte industriel actuel où les différents modèles (venant potentiellement de différents logiciels) peuvent être résolus indépendamment, voire en parallèle sur les clusters modernes. La méthode la plus répandue actuellement dans l’industrie reste la méthode de zoom structural (approche descendante ou réanalyse locale) [86, 161] qui consiste en la résolution d’un problème global linéaire suivie de celle d’un « zoom » local non-linéaire centré sur la zone d’intérêt et pilotée par le déplacement global. Ces méthodes sont limitées par le fait que le transfert se fait dans un seul sens et ne prend pas en compte l’impact du modèle local sur le modèle global. Elles peuvent être combinées avec de la condensation statique [62, 78, 109] pour éliminer les erreurs dues à l’approximation des conditions aux limites locales.

Méthodes non-intrusives

Malgré le développement de nombreuses méthodes de calcul d’un point de vue académique, leur implémentation dans un code commercial adapté aux besoins des industriels est assez limi- tée. Dans la suite de cette thèse, nous utiliserons le terme non-intrusif pour définir des méthodes qui implémentent des techniques dans des codes industriels en les utilisant comme des boîtes noires c’est-à-dire sans en toucher la structure même mais uniquement en communiquant avec ce dernier et qui utilisent les entrées et sorties standards des logiciels industriels modernes. Dans le cas des méthodes de couplage, la méthode de couplage non-intrusif local-global est apparue [63] suivant les idées développées dans [163]. Elle consiste en une approche de substitution via un solveur itératif de type Schwarz, qui permet de réaliser des modifications locales dans le modèle éléments finis existant (en terme de raffinement de maillage, introduction de phénomène local lié à la géométrie ou au comportement matériau…) sans modifier les opérateurs initiaux.

Dans cette méthode, un modèle global grossier est défini sur l’intégralité du domaine physique où la géométrie, la connectivité, les opérateurs et le solveur sont fixés (la matrice initiale factorisée est donc conservée durant tout la procédure de couplage itératif), tandis que l’évolution du phénomène local est prédite par un modèle séparé défini sur une zone locale ou un patch. Les données d’interface sont quant à elles transférées de façon itérative entre les deux modèles (voir Figure 2.4).L’indépendance des solveurs est un avantage pour coupler un logiciel commercial avec n’importe quel autre code dédié à la modélisation de phénomènes locaux ; du fait qu’aucune mo- dification n’est à réaliser dans le logiciel commercial, seules des données d’entrée/sortie sont à transmettre.