Modèle d’ordre réduit évolutif pour une suite de simulations

Soit une suite de m simulations (S1, S2, …,Sm) permettant d’obtenir une suite de solutions (u1 ,u2 , …,u m) représentant l’état du système à différents instants, pour des valeurs du vecteur des paramètres {p}1 ,…,{p}m. Effectuer une suite de simulations consiste à tenir compte des résultats antérieurs (de u1 à u m−1 ) pour calculer une approximation de u m à l’aide d’une base réduite composée des vecteurs (ψ (n) k)k=1…s. Les résultats antérieurs sont exploités pour réduire le coˆut de la simulation restant à faire (Figure 3.1). Nous proposons de construire, au cours de la suite de simulations, un modèle d’ordre réduit évolutif, sans connaˆıtre de base réduite au commencement de la suite de simulations. Fig. 3.1 – Suite de simulations produite avec le Modèle Détaillé. Remarques • Dans un premier temps, nous nous limitons à l’étude formelle d’une suite de simulations sans que cette suite soit nécessairement relative à un processus d’optimisation. • Dans un second temps, nous traiterons une suite de simulations dans le cadre de la résolution de problèmes inverses. 109 Modèle d’ordre réduit évolutif pour une suite de simulations Définition d’un temps global Suite à un premier calcul Eléments Finis (Modèle Détaillé, noté MD), ´ nous obtenons une première réponse u1 (X , t, {p}1 ). Nous pouvons effectuer un second calcul Modèle Détaillé qui donne une seconde réponse u2 (X , t, {p}2 ). Une suite de calculs est alors une suite de Modèles Détaillés. Une réponse du système est ainsi simulée. La Figure FIG. 3.2 représente une suite de calculs produite en cours de processus d’optimisation avec une modification de paramètres. Fig. 3.2 – Suite de calculs en cours de processus d’optimisation. L’objectif est de traiter l’ensemble des résultats de simulations u1 à u m−1 comme étant un résultat séquentiel global. Il nous semble donc judicieux d’introduire le concept d’un temps global tel que : u(X , t′ ) = uj (X , t′ − t ′ j−1 , {p}j ), ∀t ′ ∈]t ′ j−1 , t′ j ] (3.1) avec t ′ j = t ′ j−1 + T o`u T = tf − t0 est la durée d’une simulation. Remarques • Une suite de calculs conduit donc à un axe de temps virtuel : l’interprétation de cette suite de simulations. • La continuité par rapport à la variable t ′ n’est pas nécessaire pour mettre en œuvre une méthode de réduction de modèles. 

Méthode APHR appliquée à une suite de simulations

Du fait de la procédure adaptative contenue dans la méthode APHR, nous obtenons une base qui évolue au cours de la suite de simulations. La version de la base (n) est donc liée à m, le nombre de simulations réalisées. Les étapes de la méthode APHR décrites en section 2.3.1 sont reformulées ciaprès pour une suite de α simulations réalisées, en tenant compte des α − 1 simulations précédentes. Seules les équations (2.47) et (2.48) ont été modifiées, et les équations (3.17) et (3.18) ont été rajoutées.

Mise en évidence de la présence d’évènements récurrents sur un exemple numérique 

Objectifs Nous allons mettre en évidence la présence d’évènements récurrents sur un modèle linéaire d’une barre bi-encastrée. L’objectif est de montrer l’existence d’évènements récurrents lors de l’étude d’une suite de calculs de sensibilité par Différences Finies en utilisant une méthode de réduction de modèle. Description du modèle Le modèle que nous avons choisi est un problème linéaire de traction d’une barre bi-encastrée avec un chargement évoluant sur les 3 derniers noeuds (FIG.3.4). La longueur de la barre est L = 2, cette barre est maillée en n = 600 noeuds.