Modélisation de la distribution

Une modélisation numérique de la distribution des échanges thermiques et des écoulements dans un échangeur de chaleur à mini-canaux a été développée. Dans ce chapitre, nous commencerons par décrire le modèle en détail. Puis, dans une seconde partie, les résultats obtenus à partir du modèle seront comparés à des résultats expérimentaux. 

Modèle numérique

Avant d’aborder le modèle numérique en lui-même, il convient de rappeler la définition d’un certain nombre de grandeurs. En particulier, comme le précise Schalbart (2006), il convient de bien différencier le titre local, ou thermodynamique, du titre de l’écoulement. Le titre en vapeur x de l’écoulement, tout d’abord, représente le rapport du débit massique de vapeur sur le débit massique du mélange. Il s’exprime ainsi : x = m˙ v m˙ l + ˙mv (4.1) Le titre en vapeur peut également être défini localement.

Considérons un volume V de mélange. Le titre en vapeur représente alors le rapport de la masse de vapeur sur la masse totale du mélange contenue dans ce volume : x ∗ = Mv Ml + Mv (4.2) Les masses de liquide Ml et de vapeur Mv peuvent également s’exprimer en fonction du débit et de la vitesse de chaque phase : Ml = m˙ l Vl vl Sl et Mv = m˙ v Vv vv Sv (4.3) Le titre local du fluide diphasique x ∗ s’exprime alors : x ∗ = m˙ v Vv vv Sv m˙ v Vv vv Sv + m˙ l Vl vl Sl (4.4) Or, comme Vl Sl = Vv Sv = L, le titre de local s’exprime ainsi : x ∗ = m˙ v m˙ v + γ m˙ l (4.5) Modélisation de la distribution 94 Chapitre 4. Modélisation de la distribution avec γ glissement, qui représente le rapport de la vitesse de la phase vapeur sur la vitesse de la phase liquide. Le titre local et le titre de l’écoulement d’un fluide diphasique ne sont donc équivalents qu’à condition de considérer le glissement nul. Considérer un glissement nul revient à considérer que les deux phases circulent à la même vitesse.

Le glissement s’exprime par : γ = vv vl = m˙ v ρl Sl m˙ l ρv Sv =  x 1 − x   ρl ρv  1 − ǫ ǫ  (4.6) avec ǫ le taux de vide, ou fraction de vide. La fraction de vide représente la fraction de surface de la section de passage occupée par la phase vapeur par rapport à la surface occupée par les deux phases. Il est défini comme suit : ǫ = Sv Sl + Sv (4.7) En remplaçant cette fois-ci les surfaces Sl et Sv par leurs expressions en fonction du débit volumique et de la vitesse de chaque phase, soit : Sl = m˙ l ρl vl et Sv = m˙ v ρv vv (4.8) nous obtenons une nouvelle expression du taux de vide : ǫ = m˙ v ρv vv m˙ v ρv vv + m˙ l ρl vl (4.9) De cette expression est enfin déduite celle du taux de vide en fonction du titre de l’écoulement : ǫ = ρl x ρl x + γ ρv (1 − x) (4.10)

Le taux de vide peut également être défini à partir du titre thermodynamique : ǫ = ρl x ∗ ρl x ∗ + ρv (1 − x ∗) (4.11) Ainsi, les propriétés physiques du fluide en un point doivent être définies à partir du titre local, dit titre thermodynamique. En ce qui concerne l’écoulement, les propriétés du fluide sont définies à partir du titre de l’écoulement. Ainsi, pour le calcul des pertes de charge et de la quantité de mouvement, la masse volumique du mélange sera calculée à partir du titre de l’écoulement. Le débit massique et la vitesse des phases liquide et vapeur en fonction de la densité de flux massique G et du titre de l’écoulement x s’expriment par : m˙ l = G S (1 − x) et ˙mv = G S x (4.12) et : vl = G (1 − x) ρl (1 − ǫ) et vv = G x ρv ǫ (4.13)

Ces grandeurs étant clairement établies, nous pouvons aborder à présent les différents modèles permettant de résoudre les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie dans le cas d’un fluide monophasique. Ces équations peuvent être résolues soit dans le cas d’un fluide équivalent monophasique, soit en considérant les deux phases séparément. Les trois types d’hypothèses les plus représentées dans la littérature sont :  Le modèle homogène. L’approche la plus simple, le mélange diphasique est assimilé à un fluide monophasique possédant des propriétés déduites des propriétés de chaque phase moyennées. La vitesse de ce fluide est considéré uniforme, le glissement considéré nul. – Le modèle à phases séparées. Cette approche, la plus largement utilisée dans la littérature, repose sur la considération d’un écoulement de deux fluides artificiellement séparés. Les deux phases sont supposées à l’équilibre et leurs vitesses sont supposées constantes.

Les équations de conservation sont définies pour l’ensemble de l’écoulement, bien que les vitesses des phases ne soient pas égales. La définition même du modèle implique la connaissance ou la détermination d’un certain nombre de grandeurs. Ainsi, à la détermination des frottements entre le fluide et la paroi s’ajoutent les frottements entre les phases. Il est donc nécessaire d’estimer le glissement entre les phases et le taux de vide. – Le modèle à deux fluides ou modèle à six équations. Ce modèle est similaire au modèle à phase séparées, dans la mesure où les frottements entre les phases doivent être pris en compte. Toutefois, les équations de continuité, de conservation de la quantité de mouvement et de conservation de l’énergie doivent cette fois-ci être définies pour chacune des phases

. – Le modèle de régimes d’écoulement ou modèle phénoménologique. Cette dernière approche repose sur la séparation de l’écoulement en fonction de la configuration adoptée par les deux phases. Les équations à résoudre dépendent donc de la configuration de l’écoulement. Ce modèle requiert une connaissance des régimes d’écoulement et de leurs domaines d’application. Il est également indispensable de pouvoir prédire le passage d’un régime d’écoulement à un autre. Dans le cadre de cette étude, l’approche retenue est celle du modèle à phases séparées. En effet, selon Branescu (2000), cité par Schalbart (2006), négliger le glissement rend le modèle homogène inadapté aux faibles pressions et débits. D’après Lallemand (2006), une estimation acceptable du taux de vide et des chutes de pressions par frottement est en effet obtenue pour des rapports de densité ρl/ρv inférieurs à dix, correspondant à de fortes pressions. Au-delà, le coefficient de frottement est sous-estimé (Hetsroni, 1982). Le modèle phénoménologique, d’un autre côté, nécessite de connaître précisément le comportement du fluide. Un tel modèle implique une modélisation complexe et il n’a pas été retenu pour des raisons de temps de convergence. Enfin, le modèle à phases séparées a été préféré au modèle à deux fluides.

En effet, il permet de combiner les équations de conservation des deux fluides, simplifiant d’autant la résolution. La résolution numérique repose sur le couplage de trois modèles numériques : – la séparation des phases et les pertes de pression au niveau des distributeurs et collecteurs, – le comportement thermique et dynamique du fluide diphasique dans les barrettes, dans le distributeur et dans le collecteur, – la résolution des équations de conservation sur l’ensemble de l’échangeur. Dans cette partie seront décrits la méthode de résolution ainsi que les éléments nécessaires à la résolution du modèle.