Modélisation thermo-hydro-mécanique

Le dimensionnement des revêtements des régénérateurs requiert la mise en œuvre de modèles adaptés couplant les comportements thermo-hydro-mécaniques des matériaux lorsqu’ils sont traversés par un fluide compressible constitué par de l’air. Ce chapitre est consacré à ce volet et comprend deux parties. Dans la première partie, nous commençons par faire une synthèse sur les modèles thermo-hydro-mécaniques développés dans la littérature, ensuite nous présentons une formulation plus appropriée au cas d’un milieu poreux déformable saturé par l’air. L’accent est mis surtout sur les différents mécanismes souvent négligés dans la littérature comme la convection, la chaleur de compression, la variation des propriétés des matériaux avec la température et la pression. Dans la deuxième partie, nous décrivons les différentes configurations envisagées pour le revêtement des régénérateurs en expliquant les avantages et les inconvénients de chacune d’entre elles. Le chargement appliqué en température et en pression est ensuite présenté et les résultats des calculs numériques sont analysés en justifiant l’importance de chaque mécanisme de couplage. Ce chapitre se termine par une comparaison des résultats du modèle développé avec les résultats obtenus avec un modèle thermo-hydro-mécanique simple. 

Synthèse bibliographique 

Dans le chapitre 2, le milieu poreux a été défini à l’échelle macroscopique comme étant un milieu continu solide à travers lequel peut circuler un fluide. Les deux premières formulations générales d’un milieu poreux sont celle de Terzaghi qui considère un milieu poreux saturé où le fluide saturant et le squelette sont incompressibles et celle de Biot qui considère les mêmes hypothèses à la différence d’un squelette déformable. Par la suite, de nombreux travaux et analyses des milieux poreux élastiques se sont inscrits dans le cadre de la théorie élastique linéaire de Biot dont on cite les plus importants : – Biot et Willis (1962, [50]) ont analysé la procédure expérimentale à suivre pour mesurer les coefficients poroélastiques. – Geertsma (1957, [51]), Nur et Byerlee (1971, [52]) et Zimmerman et al. (1986, [53]) ont donné les relations liant les coefficients poroélastiques de Biot aux caractéristiques des constituants du milieu poreux. – Carter et al. (1977, [54]) ont développé la théorie de la consolidation des sols en transformations finies. – Rice et Cleary (1976, [55]) ont reformulé la théorie de Biot en exprimant les relations de comportement élastique linéaire en fonction de paramètres physiques différents tels que le coefficient de Skempton et le coefficient de Poisson non drainé.Biot a ensuite généralisé sa théorie aux milieux poroélastiques anisotropes dont le fluide saturant est visqueux et compressible, et aux milieux poroviscoélastiques anisotropes. Il a étudié aussi la propagation d’ondes dans les milieux poroélastiques et poroviscoélastiques. Plusieurs auteurs se sont intéressés au comportement irréversible des milieux poreux comme : – Rice (1975, [56]), Rudnicki et (Rice 1975, [57]) et Rudnicki (1985, [58]) ont proposé des critères de plasticité pour les milieux poreux. – Smith et Patillo (1983, [60]) se sont intéressés aux notions de contraintes effectives élastiques et plastiques. – Vardoulakis (1986, [61]) a proposé un critère de plasticité pour les sols granulaires. L’étude du comportement thermique des milieux poreux saturés a commencé au début des années 1980 et s’est développée considérablement depuis, du fait de l’importance des problèmes concernant les milieux poreux en conditions non-isothermes. Ces problèmes industriels peuvent être classés en deux types : des problèmes de dégagement de chaleur en milieu poreux (stockage de déchets nucléaires, stockage d’air comprimée…) et des problèmes d’injection de fluide en milieux poreux (stabilité de puits de forage sous l’effet de l’injection, transfert de chaleur par l’intermédiaire du fluide pompé ou injecté). Plusieurs campagnes d’essais on été menées en laboratoire (Chijimatsu et al. 2001 [62], Datta et al. 2004 [63], Villar et al. 2005 [64], Kull et al. 2007 [65]) et plusieurs tests ont été réalisés in situ (Gatabin et al. 2005 [66], Martin et al. 2005 [67]) pour étudier les différents mécanismes de couplage dans différentes roches. De nombreux modèles mathématiques ont été développés (Schiffman et al. 1977 [68], Derski et Kowalski 1979 [69], Coussy 1991 [70], Bear et Corapcioglu 1981 [71], Booker et Savvidou 1985 [72], Mac Tigue 1986 [73], Kurashige 1989 [74], Lewis et Schrefler 1987 [75], Smith et Booker 1993 [76], Jiang et Rajapakse 1994 [77], Seneviratne et al. 1994 [78]). Tijani et al. (1996), Noorishad et al. [79] ont développé aussi des modèles thermo-hydro-mécaniques dans des milieux fracturés. Plusieurs auteurs ont présenté des solutions analytiques des problèmes thermo-poroélastiques pour des matériaux qui subissent des petites perturbations autour d’un état initial (Mac Tigue 1986 [73], Smith et Booker 1993 [76]). Toutes ces solutions analytiques se basent sur des hypothèses simplificatrices : propriétés constantes, loi de Darcy, loi de Fourrier, pas de flux convectif … La modélisation du couplage THM dans les milieux poreux a conduit au développement de plusieurs codes numériques capables de modéliser le comportement des roches à plusieurs niveaux de sophistication : VIPHYD (Tijani), ROCMAS (Noorishad et al. 1996 [79]), THAMES (Ohnishi et al. 1987 [80]), MOTIF (Guvanasen et al. 1995 [81]), FRACON (Nguyen et al. 1995 [82]), FEMH (Bower et al. 1997 [83]), FRIP (Pine et al. 1985 [84]), FRACture (Kohl et al. 1995 [85]) , GEORACK (Swenson et al. 1997 [86]), TOUGH2/JAS3D (Rutqvist et al. 2005 [87]) et plusieurs logiciels commerciaux comme : ABAQUS, FLAC, UDEC et COMSOL MULTIphysics. L’étude du couplage thermo-hydro-mécanique dans les milieux multiphasiques (milieux dans lesquels plusieurs fluides coexistent) a été considérablement développée ces dernières années vu les besoins exprimés par les applications industrielles. Plusieurs auteurs ont développé des modèles mathématiques dans les milieux multiphasiques (Bowen 1982 [88], Thomas et al. 1995 [89], Zhou et al. 1998 [90], Rutqvist et al. 2001 [91], Khalili et al. 2001 [92] et Schrefler et al. 2004 [93]). Ces modèles sont basés sur la théorie des mélanges. De la même façon, plusieurs logiciels ont été développés dans ce but. On cite comme exemples le code VISAGE (Koutsabeloulis et al. 1998 [94]), qui analyse l’écoulement du gaz et de l’huile dans des réservoirs souterrains profonds, le code COMPASS (Thomas et al. 1996, [95]) qui modélise l’écoulement de l’eau et de l’air dans les sols et le code CODE-BRIGHT (Olivella et al. 1994, [96]) qui modélise l’écoulement du gaz et de la saumure dans les milieux salins.  

Modèle mathématique

 Dans la formulation qui suit, on considère un milieu poreux saturé par un seul fluide qui est l’air. On considère aussi que les 2 phases sont en équilibre thermique local, ceci signifie que l’équilibre thermique entre les phases s’établit instantanément. Cette analyse est réalisée à l’échelle macroscopique où le milieu poreux est considéré comme étant un milieu continu et les grandeurs locales sont « moyennées » afin d’être utilisées analytiquement et numériquement. Les inconnues principales du problème sont : la température, la pression de pore et la contrainte.

Intégration du modèle mathématique dans COMSOL-MULTIphysics 

Le modèle mathématique formulé précédemment est intégré dans le logiciel numérique COMSOLMULTIphysics (version 3.5a) afin de calculer les champs de contrainte, de température et de pression de pore dans la structure étudiée. Les calculs sont menés en utilisant le module « Earth science » et en couplant les modèles « poroelasticity » avec « heat transfer- convection and conduction ». Le modèle «poroelasticity» est un modèle intégré dans COMSOL, il couple l’équation de conservation de masse (équation (3.65)) et l’équation d’équilibre classique de la thermomécanique des milieux poreux (équation (3.60)). Le modèle « heat transfer- convection and conduction » est un modèle basé sur la résolution de l’équation de conservation d’énergie (équation (3.69)).