Problèmes variationnels quasi-statiques et leurs comportements asymptotiques

 Introduction

Beaucoup de problèmes traduisant des phénomènes non linéaires en mécanique et en physique sont formulés à l’aide d’inéquations variationnelles. On rencontre de telles inéquations en étudiant les problèmes d’obstacle, les fluides de Bingham en visco-plasticité, les problèmes de torsion en élasto-plasticité, les problèmes de contact ou de Signorini, ainsi que ceux munis de la loi de frottement de Coulomb, etc. La solution de ces problèmes dépend de certains paramètres physiques, tel que le coefficient de frottement, de torsion, ou de compliance. La question qui nous vient à l’esprit concerne le comportement asymptotique de la solution par rapport à ces coefficients. Par exemple, on veut identifier la limite des solutions uε lorsque le paramètre physique, que l’on note ε > 0, devient très petit. Si ε approche 0, alors uε tend vers u 0 = lim εց0 uε. Mais dans beaucoup de situations, l’approximation uε ∼ u 0 n’est pas satisfaisante. On a alors besoin d’écrire uε avec un développement limité à l’ordre 1 : uε = u 0 + εu1 + εo(ε). En d’autres mots, on s’intéresse à la limite lim εց0 (uε − u 0 )/ε. Un modèle simplifié pour le frottement fut introduit dans [100] (voir aussi [86], [101]). Soit Ω ⊂ R n , n ≥ 1 un ouvert borné avec un bord régulier et V = H1 (Ω) muni de la norme kvk = R Ω (|v(x)| 2 + |∇v| 2 ) dΩ 1/2 pour tout v ∈ V . Pour tout ε > 0, on considère l’inégalité variationnelle : uε ∈ V : Z Ω {uε(v − uε) + ∇uε · (∇v − ∇uε)} dΩ + ε Z ∂Ω {|v| − |uε|} dΓ (1.1) ≥ Z Ω F(v − uε) dΩ, ∀ v ∈ V où F ∈ L 2 (Ω). On peut écrire la forme linéaire continue v ∈ V → R Ω Fv dΩ de la façon suivante v → R Ω {Fv + ∇F · ∇v} dΩ pour tout élément F ∈ V . Ici ε désigne un petit paramètre correspondant au coefficient de frottement. En résumé, le problème ci-dessus peut être reformulé de la manière suivante : si (H,(·, ·)) est un espace de Hilbert, on cherche uε ∈ H tel que : a(uε, v − uε) + εj(v) − εj(uε) ≥ (F, v − uε), ∀ v ∈ H (1.2) où a : H × H → R est une forme bilinéaire continue H-elliptique, j : H →] − ∞, +∞] est une fonction propre, convexe, semi continue inférieurement sur H et F ∈ H. Pour tout ε > 0, le théorème de Lions-Stampacchia assure que l’inégalité (1.2) (voir [100], [165]) est bien posée. On s’interroge sur le comportement asymptotique de la famille de solutions (uε)ε>0 pour ε petit. Par exemple, on écrit le développement de uε ainsi : uε = u 0 + εu1 + ε 2 u 2 + … 

Comportement asymptotique du modèle simplifié de frottement

Soient l’espace des fonctions continues C(0, T; V ) de [0, T] dans V et l’espace de Sobolev W1,p(R+; V ) de R+ dans V , c’est-à-dire l’espace de Banach de toutes les fonctions u ∈ L p (R+; V ) dont le gradient au sens des distributions ∇u appartient à L p (R+; V ), muni de la norme kuk1,p = kukp + k∇ukp

Un problème standard d’évolution Il est possible de transformer le problème quasi-statique (1.6) en un problème standard d’évolution. En effet, en conservant les notations A et j, le problème (1.6) est équivalent à : A  uε(t) − u 0 (t) ε  + ∂j( ˙uε(t)) ∋ 0, t ∈ R+ et aussi à  u˙ ε(t), −A  uε(t) − u 0 (t) ε  ∈ ∂j, t ∈ R+. (1.8) On suppose que la fonction j est paire, i.e. D(j) = −D(j), j(v) = j(−v) pour tout v ∈ D(j) = {v ∈ V ; j(v) 6= ∅} . (1.9) Remarque 1.2.2 C’est le cas du modèle (1.1). Sous la condition (1.9), il est facile de voir que ∂j est impaire : D(∂j) = −D(∂j) et ∂j(−x) = −∂j(x) pour tout x ∈ D(∂j), i.e. [x, y] ∈ ∂j si et seulement si [−x, −y] ∈ ∂j. C’est pourquoi (1.8) devient :  −u˙ ε(t), A  uε(t) − u 0 (t) ε  ∈ ∂j. Considérons maintenant la fonction conjuguée j ⋆ par dualité convexe j ⋆ (w) = sup v∈H {(w, v) − j(v)}, w ∈ H. On sait que (voir [52]) j ⋆ est propre, convexe, semi continue inférieurement et ∂j⋆ = (∂j) −1 . Ainsi on obtient :  A  uε(t) − u 0 (t) ε  , −u˙ ε(t)  ∈ (∂j) −1 = ∂j⋆ signifiant que uε est solution du problème d’évolution suivant : duε dt + ∂j⋆A  uε(t) − u 0 (t) ε  ∋ 0, t ∈ R+. En introduisant la notation yε(t) = uε(t) − u 0 (t) ε , on déduit que le problème quasi-statique (1.6) peut être écrit :    yε(0) = u 0 ε − u 0 0 ε =: y 0 ε ε dyε dt + ∂j⋆Ayε(t) ∋ − du0 dt , t ∈ R+.