Propagation des ondes radioélectriques

Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell permettent de décrire tous les phénomènes électromagnétiques classiques. Ces équations relient les vecteurs du champ électromagnétiques : E r • : Champ électrique (exprimée en Volt/m) D r • : L’induction électrique (exprimé en Coulomb/m3 ) H r • : Champ magnétique (exprimée en Ampère/m) B r • : L’induction magnétique (exprimé en Weber/m2 ou Tesla) Il existe deux représentations des équations de Maxwell, différentielle et intégrale [13]. Leurs expressions différentielles s’expriment dans le domaine temporel par : Dans le présent chapitre, nous exposons les équations de propagation des ondes et les calculs des grandeurs physiques utilisées dans la normalisation des expositions radioélectriques. Dans la première section, nous développons les équations de Maxwell et la propagation des ondes planes. Dans la seconde section, nous présentons les éléments théoriques du rayonnement des antennes et en particulier le cas d’un dipôle élémentaire, en se concentrant sur la zone de propagation de champ lointain.  Figure 3.1 : Propagation d’une onde électromagnétique. Et dans le domaine fréquentiel pour une dépendance temporelle en j t e ω par : Le vecteur de position t : Le temps ω: La pulsation temporelle. ρ : La densité de charge volumique (exprimée en Coulomb/m3 ) J r : La densité de courant électrique (exprimée en Ampère/m2 ). ∇ est l’opérateur différentiel qui permet de représenter le gradient, le rotationnel et la divergence. ∇× est l’opérateur rotationnel et ∇ ⋅ est l’opérateur de divergence. Leurs expressions dépendent du système de coordonnées utilisé pour représenter les vecteurs. Dans un milieu quelconque, les vecteurs du champ électrique et magnétique sont reliés à l’induction électrique et à l’induction magnétique à l’aide de la perméabilité µ et la permittivitéε . Chapitre 3 : Propagation des ondes radioélectriques 35 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D r r E r B r r H r j r r E r ω ε ω ω ω µ ω ω ω σ ω ω = = = r r r r r r r r r r r r r r r (Équation 3.3) Où : 1 2 ε = ε − jε : La permittivité (exprimée en Farad/m) µ µ1 µ 2 = − j : La perméabilité (exprimée en Henry/m) σ σ 1 σ 2 = − j : La conductivité (exprimée en Siemens/m). Les propriétés réfractives du milieu sont définies par les parties réelles de la permittivité et de la perméabilité, alors que leurs parties imaginaires définissent les pertes. Ces pertes peuvent être de type diélectrique c’est-à-dire ε 2 ≠ 0 , de type magnétique µ 2 ≠ 0 où de type conductifσ 2 ≠ 0 . 1.1) Propagation dans le vide Ce milieu est caractérisé par des valeurs de permittivité et perméabilité suivantes  / Farad m Henry m − − = = × = = × et la conductivité est nulle. La vitesse de lumière et l’impédance dans le vide s’expriment par 8 0 0 c m s = = × 1/ 3 10 / ε µ et 0 0 0 η µ ε = = / 377ohm . D E r r 0 = ε (Équation 3.4) B H r r = µ 0 1.2) Propagation dans un milieu homogène isotrope Il s’agit d’une idéalisation des milieux réels, avec les caractéristiques suivantes : D E r r = ε (Équation 3.5) B H r r = µ La perméabilité du milieu parfait µ et sa permittivitéε , sont homogènes c’est-à-dire indépendants de r r , isotropies ( µ et ε indépendants des directions de E r et H r ), la réaction instantanée c’est-à-dire µ et ε sont indépendants de ω , et par l’absence de pertes. Chapitre 3 : Propagation des ondes radioélectriques 36 1.3) Propagation dans un milieu avec perte Dans cas, la conductivité varie en fonction du milieu (de 107 pour les métaux, à 10-2 pour un sol sec). Pour simplifier, on introduit c ε la permittivité équivalente complexe, prenant en compte les pertes diélectriques et de conduction : ( ) 1 2 ω σ ε ε ω σ ε c = ε − j = − j + (Équation 3.6) Dans ces conditions, la deuxième équation de Maxwell devient : H(r,ω) J (r,ω) jωD σE(r,ω) jωεE(r,ω) r r r r r r r r r ∇ × = + = + (Équation 3.7) ( ) ( ,ω) ωε ( ,ω) ω σ ω ε E r j E r j j c r r r r = + = 2) Propagation d’onde plane En combinant les équations de Maxwell en éliminant l’un de deux champs, et utilisant les propriétés du gradient, du rationnel et de la divergence, on obtient l’équation d’onde. Dans un milieu linéaire cette équation s’écrit :  k E r ω = (Équation 3.8) Où ∆ est l’opérateur laplacien. Selon le système de coordonnées utilisé, différentes formules sont à utiliser pour le laplacien. Le nombre d’onde k est défini par : c k =ω µε La solution élémentaire d’onde plane est largement utilisée dans le contexte de la propagation en espace libre. Physiquement, cette approximation est valable dans la zone de champ lointain [42]. Une onde plane est une onde dont les surfaces équi-phases forment des plans. La direction de propagation de l’onde en un point est définie par la direction perpendiculaire à la surface équi-phase autour de ce point. La direction de propagation d’une onde plane est donc identique en tout point. En pratique, on l’utilise lorsque l’hypothèse champ lointain est satisfaite.  Lorsque l’onde est plane, il est plus simple d’utiliser les coordonnées cartésiennes pour E r , ce qui permet de séparer les 3 composantes cartésiennes de E r et donc de résoudre les 3 équations correspondantes séparément en utilisant pour chaque composante : (Équation 3.9) où x ∂ ∂ est l’opérateur de dérivation partielle par rapport à la variable x et E représente une des 3 composantes cartésiennes. Précisons que cette séparation n’est possible que pour les coordonnées cartésiennes mais pas pour les coordonnées sphériques ou cylindriques. Une des solutions possibles, très utilisée, est l’onde monochromatique : ( , ) exp( ( )) 0 E r t E j wt k r r r r r r = − ⋅ (Équation 3.10) où E0 r est un vecteur complexe constant, qui représente la polarisation et l’amplitude de l’onde plane. Le vecteur d’onde k r et le nombre d’onde k sont reliés par : 2 k k k ⋅ = r r (Équation 3.11) 

Zones de propagation

Pour modéliser la propagation d’une onde, généralement, en s’éloignant de l’antenne, on distingue trois zones de propagation définies en fonction de la distance à l’antenne r (Figure 3.2), de la longueur d’onde d’émission λ et de la dimension D caractéristique de l’antenne :  Pour 2 0 2 D r λ ≤ ≤ , la zone de Rayleigh. Le champ émis est dans ce cas quasiment uniforme sur une zone de dimension D (pour une antenne GS.Pour  zone de Fresnel, dans laquelle l’état d’interférence disparaît progressivement.  Pour 2 2D r λ ≤ , zone de champ lointain, ou zone de Fraunhoffer. A grande distance, toutes les sources secondaires semblent rayonner en phase. Dans le cadre de notre étude, on s’intéresse seulement à la troisième zone: zone de champ lointain.