Proposition d’un modèle de couplage plasticité-endommagement en fatigue à grand
nombre de cycles

Démarche multi-échelle

Avant de rentrer dans le détail de la construction du modèle, il convient de préciser à quelle échelle on se positionne pour décrire le comportement et l’endommagement dans le cadre de la fatigue à grand nombre de cycles. On a jusqu’ici, notamment pour l’interprétation énergétique des essais cycliques, considéré l’éprouvette comme une structure composée d’une infinité d’éléments de volume homogènes. La réalité est néanmoins différente dans la mesure où l’acier HC360LA, comme la majorité des matériaux métalliques, est un agrégat polycristallin. Les cristaux qui constituent l’agrégat sont eux-mêmes hétérogènes soit par leur élaboration (e.g. présence de particules durcissantes), soit par les transformations microstructurales induites lors d’un chargement cyclique (e.g. formation de structures de dislocations particulières). Il devient alors nécessaire de faire un choix sur l’échelle à retenir pour l’écriture de la loi de comportement. Si la prise en compte des hétérogénéités intragranulaires, notamment via l’utilisation de la dynamique discrète des dislocations, permet de reproduire naturellement certains mécanismes fondamentaux de la fatigue à grand nombre de cycles tels que l’existence de contraintes internes intragranulaires (Mura, 1994) ou la formation de micro-reliefs superficiels (Déprés, et al., 2006), les outils actuels ne permettent pas l’étude d’agrégats représentatifs. Ces méthodes, bien qu’intéressantes, ne sont donc pas adaptées à notre objectif qui est l’étude d’un polycristal d’acier HC360LA. Puisque, à l’échelle cristalline, nombre de travaux ont montré l’importance du caractère anisotrope des propriétés élastiques (Sauzay & Jourdan, 2006) et des propriétés de déformation plastique (Bennett & McDowell, 2003) pour la fatigue à grand nombre de cycles, on choisit d’écrire la loi de comportement à l’échelle du cristal. L’influence des hétérogénéités intragranulaires sur le comportement cyclique n’est alors pas décrite de manière explicite mais plutôt de manière phénoménologique à l’aide de variables internes représentatives. Le caractère polycristallin est quant à lui pris en compte à partir d’une méthode d’homogénéisation ad hoc. Ainsi, comme l’illustre la Figure II.4, dans le cadre de ce travail, on est amené à distinguer trois échelles différentes :  L’échelle de la structure, qui dans cette étude est souvent une éprouvette.  L’échelle de l’agrégat polycristallin, dont la taille est déterminée par la nécessité de pouvoir définir un volume élémentaire représentatif.  L’échelle du cristal, sur laquelle repose la construction de la loi de comportement. 

Cinématique du monocristal

La description de la cinématique des cristaux métalliques dans le cadre élasto-plastique est un sujet largement traité dans la littérature (Asaro & Needleman, 1985; Marin & Dawson, 1998), on en rappelle simplement ici les éléments essentiels. On considère pour cela un cristal pour lequel le gradient de la transformation F est décomposé de manière multiplicative en contributions élastique e F et plastique p F comme suit5 (voir Figure III.2): e p F F F   (III.1) Dans le cadre des petites déformations et des petites rotations, on peut exprimer les différentes contributions au gradient de la transformation à partir des tenseurs de déformations ( ε , e ε et p ε ) et de rotations ( ω , e ω et p ω ) infinitésimaux de sorte que : F 1   ε ω (III.2) e e e F 1    ε ω (III.3) p p p F 1    ε ω (III.4) Ainsi, en négligeant les termes de second ordre, on obtient la décomposition additive suivante : e p ε ε ε   (III.5) e p ω ω ω   (III.6) 5 Bien qu’il y ait une élévation de température lors des essais cycliques, elle est en général faible (inférieure à 10K). On ne considère donc pas les déformations d’origine thermique dans l’écriture du modèle de comportement.  Figure III.2 : Décomposition multiplicative du gradient de la transformation dans le cas de l’élastoplasticité La déformation plastique des alliages métalliques est le résultat d’un mécanisme de glissement cristallographique qui s’opère sur des plans cristallographiques particuliers et selon des directions cristallographiques particulières. La combinaison d’un plan et d’une direction forme ce qui est généralement nommé un système de glissement. Un système de glissement d’indice s est donc intégralement défini par deux vecteurs unitaires : la normale au plan de glissement (notée s n ) et la direction de glissement (notée s m ). Pour la plupart des alliages métalliques, les systèmes de glissement sont constitués des plans et directions de plus grande densité. Dans le cas des métaux de structure cubique à corps centré, telle que la ferrite qui nous intéresse ici, on considère souvent l’existence de deux familles de systèmes de glissement 110 111  et 112 111  (voir Figure III.3 ci-dessous). La déformation plastique de la phase ferritique s’opère ainsi sur un total de 24 systèmes de glissement.