Rappels d’analyse fonctionnelle

L’objectif de ce chapitre est de rappeler l’essentiel des notions et résultats utilisés tout au long de ce travail. Pour plus de détails, des références `a la littérature seront systématiquement données. On désigne ici par : K=R ou C. X , Y des espaces de Banach. X ∗ (resp. Y ∗ ) le dual topologique de X (resp. Y). h., .i le crochet de dualité. H un espace de Hilbert sur K muni de la norme |.| et le produit scalaire (., .). L (X , Y) l’espace vectoriel des applications linéaires continues de X vers Y, que l’on munit de la norme définie par kBkL (X, Y) = sup u∈E\{0} kBukY kukX . 

Opérateurs linéaires 

Opérateurs bornés

Théorèmes de prolongement Théorème 1.1.1 Soit D un sous-espace vectoriel dense de X . Toute application linéaire continue de D vers Y a un unique prolongement linéaire continue de X vers Y.

Théorème 1.1.2 [prolongement de la convergence]. Soient D un sous-espace vectoriel dense de X et (Bn)n∈N une suite d’éléments de L (X , Y). On suppose qu’il existe c > 0 tel que ∀n ∈ N, kBnkL (X, Y) ≤ c et que, pour tout élément x de D, la suite Bnx a une limite Bx quand n tend vers l’infini. Alors l’application B : D −→ Y ainsi définie est linéaire continue, et, si Bb ∈ L (X , Y) est un prolongement de B, alors pour tout x ∈ X , Bnx −→ Bx, n b −→ +∞. Principe de la borne uniforme Théorème 1.1.3 [Banch-Steinhaus]. Soit (Bi)i∈I une famille d’opérateurs de L (X , Y) vérifiant ∀x ∈ X , sup i∈I kBixkY < ∞. (a) Alors (a) a lieu uniformément sur la boule unité de X , i.e., sup i∈I kBikL (X, Y) < ∞. (b) I L’application de ce théorème apparaˆıt bien dans les opérateurs dépendant d’un paramètre t, o`u le paramètre t joue le rˆole de l’indice i. Théorème de l’isomorphisme Théorème 1.1.4 Toute bijection linéaire continue de X sur Y a un inverse continu. Théorème du graphe fermé Théorème 1.1.5 Soit B : X −→ Y une application linéaire. Alors B est continue si et seulement si le graphe de B est fermé dans X × Y, c’est-`a-dire : pour toute suite (xn)n∈N de X vérifiant (xn −→ x, n −→ ∞) dans X et (Bxn −→ y, n −→ ∞) dans Y, on a y = Bx Théorème 1.1.6 Soit A une algèbre de Banach unitaire d’élément unité e. Si |v| < 1, alors e + v est inversible et on a (e + v) −1 = P∞ k=0 (−1)k v k . I Comme application de ce théorème on prend A = L (X ) ou A = L (H). 1.1 Opérateurs linéaires 8 1.1.2 Opérateurs non-bornés On appelle opérateur sur X , la donnée d’un couple (A, D(A)), o`u D(A) est le domaine de définition de l’application linéaire A, qui est un sous-espace vectoriel de X qu’on suppose en général dense dans X . Tout opérateur A est complètement défini par son graphe G(A) qui est un sous-espace vectoriel de X × Y défini par G(A) = {(v, Av), v ∈ D(A)}. Définition 1.1.1 On dit qu’un opérateur A est fermé si son graphe G(A) est fermé dans X × Y, i.e., pour toute suite (un) ⊂ D(A) telle que un −→ u dans X et Aun −→ v dans Y, alors u ∈ D(A) et v = Au. I L’opérateur fermé A peut ˆetre considéré comme un opérateur borné de son domaine de définition D(A) muni de la norme du graphe dans X . Définition 1.1.2 On dit qu’un opérateur A est fermable dans X s’il admet un prolongement fermé. On vérifie aussitˆot que A est fermable dans X si et seulement si l’adhérence G(A) de son graphe est un graphe. Autrement dit A est fermable si et seulement si pour toute suite (un) ⊂ D(A) telle que un −→ 0 et Aun −→ v, alors v = 0. L’opérateur fermé A dont le graphe G(A) = G(A) est appelé fermeture de A. Théorème 1.1.7 [Théorème du graphe fermé]. Si l’opérateur fermé A est définit sur tout l’espace X , alors A est borné (A fermé et D(A) = X =⇒ A borné). Définition 1.1.3 Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné `a domaine dense. On peut définir l’opérateur non-borné A∗ adjoint de l’opérateur A, comme suit : A∗ : D(A∗ ) ⊂ Y∗ −→ X ∗ D(A∗ ) = {v ∈ Y∗ : ∃ c > 0 tel que |hv, Aui| ≤ c |u|X , ∀u ∈ D(A)} . Dans ce cas la fonctionnelle u 7−→ g(u) = hv, Aui elle se prolonge de fa¸con unique en une fonctionnelle linéaire f : X −→ K telle que |f(u)| ≤ c |u|X , ∀u ∈ X. Par suite f ∈ X ∗ . On a par conséquent la relation fondamentale qui lie A et A∗ hv, AuiY∗×Y = hA ∗ v, uiX∗×X , ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ D(A ∗ ). Proposition 1.1.1 Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné `a domaine dense. Alors A∗ est fermé. Définition 1.1.4 L’opérateur A : D(A) ⊂ H −→ H est dit auto-adjoint si A = A∗ , i.e., D(A) = D(A∗ ) et (v, Au) = (Av, u), ∀u, v ∈ D(A). I L’adjoint d’un opérateur borné B ∈ L (X , Y) existe toujour et on a de plus kBkL (X, Y) = kB∗kL (Y∗, X∗) . I Si A : D(A) ⊂ H −→ H, avec D(A) = H, alors A∗ = A∗ . Si de plus, D(A∗ ) est dense, alors A∗∗ = (A∗ ) ∗ = A. Proposition 1.1.2 Soit A : D(A) ⊂ X −→ X . L’opérateur A−1 existe et est borné sur R(A), si et seulement si pour tout u ∈ D(A) on a |Au| ≥ m |u|, o`u m est une constante positive indépendante de u. Théorème 1.1.8 [Caractérisation des opérateurs `a image fermé]. Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné, fermé, avec D(A) = X. Les propriétés suivantes sont equivalentes : (i) R(A) est fermé, (ii) R(A∗ ) est fermé, (iii) R(A) = N (A∗ ) ⊥, (iv) R(A∗ ) = N (A) ⊥. Le résultat qui suit est une caractérisation utile des opérateurs surjectifs. Théorème 1.1.9 Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné, fermé, avec D(A) = X . Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) A est surjectif, i.e., R(A) = Y, (b) il existe une constante k > 0 telle que |v| ≤ k|A ∗ v|, ∀v ∈ D(A ∗ ), (c) N (A∗ ) = {0} et R(A∗ ) est fermé. 1.2 Opérateurs dépendant d’un paramètre 10 I En pratique si l’on cherche `a établir qu’un opérateur A est surjectif, on utilise l’implication ((b) =⇒ (a)) de la manière suivante. On considère l’équation A∗ v = f avec f ∈ Y∗ et on montre que kvk ≤ kkfk avec k indépendante de f. Cette technique s’appelle la méthode des estimations a priori : on ne se préocupe pas de savoir si l’équation A∗ v = f possède une solution de cette équation, et on cherche `a estimer sa norme. Théorème 1.1.10 Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné, fermé, avec D(A) = X . Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) A∗ est surjectif, i.e., R(A∗ ) = X ∗ , (b) il existe une constante k > 0 telle que |v| ≤ k|Av|, ∀v ∈ D(A), (c) N (A) = {0} et R(A) est fermé. Corollaire 1.1.1 Soit A : D(A) ⊂ X −→ X un opérateur non-borné, fermé, avec D(A) = X . L’opérateur A admet un inverse borné A−1 sur X si et seulement s’il existe deux constantes m1 et m2 telles que |u| ≤ m1 |Au| , ∀u ∈ D(A), |v| ≤ m2 |A ∗ v| , ∀v ∈ D(A ∗ ).