Réponse vibroacoustique

Projection sur une base modale

Modélisation éléments finis

La calcul de la réponse d’une structure pour un problème vibroacoustique soumise à un champ de pression modélisé par une somme d’onde planes nécessite le calcul de la réponse de cette structure pour chacun des cas de chargement en onde plane apparaissant dans la somme. Etant donné le nombre important de termes présents dans la modélisation en ondes planes de la pression, il n’est pas envisageable d’obtenir l’ensemble des réponses par un calcul complet. Dans le cadre de l’approche choisie, le problème est donc projeté sur une base modale afin de réduire le temps nécessaire à la réalisation des calculs. La base modale considéré ici doit être en accord avec la problématique physique modélisée, ainsi il est judicieux de choisir une base modale pour la structure et le volume fluide fermé et non pour la structure seule. Cette approche nécessite donc de réaliser un choix quant à la base modale utilisée afin de résoudre le problème d’interaction fluide-structure. Etant donné que le logiciel éléments finis utilisé est le code de calcul Code_Aster, une modélisation (u,p,ϕ) du problème modal est choisie. Cette dernière est en effet une des modélisation disponibles pour le résolution d’un problème d’interaction fluide structure dans Code_Aster. Dans cette modélisation ϕ correspond à un potentiel de déplacement du fluide, tel que u = −−→grad(ϕ) au sein du fluide. Le choix d’une base modale (u,p,ϕ) permet en outre de symétriser le système matriciel du problème d’interaction fluide-structure, les solveurs utilisés pour la résolution sont ceux disponibles pour des systèmes symétriques. Ceci permet un gain en temps de calcul pour la solution par rapport à un système (u,p) et un stockage creux des  matrices éléments finis. La modélisation choisie, est implémentée dans le code via l’utilisation d’éléments vibro-acoustiques [GREFFET, 2013]. Ces éléments permettent le calcul de la réponse modale, modes propres et fréquences propres, d’une structure couplée avec un fluide ainsi que le calcul de la réponse acoustique. La formulation du problème est celle proposée par [Morand and Ohayon, 1995] pour l’étude d’un système vibroacoustique couplé avec un domaine fluide borné. 

Formulation du problème

Soit une structure élastique Ωs vibrant en présence d’un volume interne ou externe confiné, modélisé par un fluide parfait Ωf , l’interface entre les deux domaines étant Σ = Σs∩Σf (Fig.2.1). la normale extérieure au domaine fluide ωf est notée n. La résolution du problème d’interaction fluide-structure correspond à la résolution simultanée de deux problèmes différents, la résolution pour le fluide du champ de pression p en tout point, pour un chargement de déplacement u imposé à l’interface Σ et la résolution du champ de déplacement u dans la structure pour un chargement en pression p imposé à l’interface Σ Dans le cadre de la résolution du problème d’interaction fluide-structure étudié dans ce document, la structure est considérée comme homogène et possédant un comportement élastique linéaire. Le problème peut alors être décrit pour la structure par : — L’équation de conservation de la quantité de mouvement : En l’absence de forces volumiques et de forces d’inertie, cette dernière s’écrit : σij,j − ρs d 2ui dt2 = 0; dans Ωs (2.1) avec ρs la masse volumique de la structure, u le vecteur des déplacements et σij le tenseur des contraintes. — La relation de compatibilité : εkl = 1 2 (uk,l + ul,k); dans Ωs (2.2) avec εkl le tenseur des déformations. — La loi de comportement en élasticité linéaire isotrope : σij = Cijklεkl; dans Ωs (2.3) avec Cijkl le module d’élasticité. Afin de résoudre le système fluide-structure étudié, il est également nécessaire de modéliser le fluide. Les éléments fluides utilisés pour décrire le problème sont par hypothèse régis par les lois de l’acoustique linéaire, de plus aucune source acoustique n’est considérée dans la description du problème étudié. Les équations décrivant le comportement du fluide sont donc formulées : — L’équation de conservation de la quantité de mouvement : En l’absence de sources acoustiques, cette équation s’écrit : Tij,j − ρf d 2uf i dt2 = 0; dans Ωf (2.4) avec : Tij le tenseur des contraintes dans le fluide ρf la masse volumique du fluide uf le vecteur des déplacements dans le fluide — L’équation de conservation de la masse : exprimée au premier ordre, en l’absence de sources acoustiques, cette équation se formule : εkl = 1 2 (uk,l + ul,k); dans Ωf (2.5) — La loi de comportement : Tij = −pδij ; dans Ωf (2.6) avec : p la pression acoustique p = ρc2 0 c0 célérité du son dans le fluide  — L’équation de Helmholtz, de propagation des ondes acoustiques : Cette équation se déduit par combinaison des équation de conservation de la masse (Eq.2.5) et de conservation de la quantité de mouvement (Eq.2.4) ∆p + k 2 p = 0; dans Ωf (2.7) avec : k nombre d’onde acoustique k = ω/c c0 célérité du son dans le fluide Finalement le couplage entre les comportements fluide et structure doit être exprimé afin de décrire intégralement le système. Comme le fluide considéré ne présente pas de viscosité les deux équations de continuité des contraintes et des vitesses normales régissent le couplage, à l’interface fluide-structure : — Continuité des contraintes normales : σij · ni = Tij · ni = −pδij · ni ; sur Σ (2.8) avec : n la normale à la surface d’interaction fluide-structure.