Résolution de l’équation de Reynolds par un méthode d’optimisation

Étude du problème à frontière libre

L’objectif principal de ce chapitre est l’étude du problème à frontière libre de propagation du fluide. Cette propagation est bien évidement liée à la modélisation choisie pour l’écoulement, c’est-à-dire ici l’équation de Reynolds. Avant de traiter la complexité du problème liée au couplage entre l’écoulement et la réponse élastique du film, on propose donc d’analyser un exemple plus simple où la composante élastique du problème est supprimée pour se concentrer uniquement sur la propagation du fluide. Pour cela on propose d’analyser le problème de l’écrasement d’une goutte de fluide visqueux entre deux surfaces rigides. Ainsi, considérons le problème d’une plaque plane, parfaitement rigide s’approchant verticalement d’un substrat parfaitement rigide comme montré dans la figure 3.1. On suppose qu’entre la plaque et le substrat existe une goutte de volume constant V. La plaque s’approche du substrat en exerçant une force F sur le fluide, supposée constante. Finalement, en gardant l’esprit du chapitre précédent, on suppose que le problème est invariant selon la direction Z et peut être décrit dans le plan OXY.

Reformulation du problème d’évolution à frontière libre comme un problème d’optimisation

Le problème consiste à déterminer les fonctions h(t), r(t) et p(t, x) satisfaisant (3.7). Dans cette section on en présente une reformulation comme un problème d’optimisation. On propose d’abord de traiter la discrétisation temporelle du problème en considérant qu’à chaque instant l’ensemble de fonctions solution sont aussi des points optimaux pour une fonctionnelle qui sera précisée ultérieurement. Pour discrétiser en temps l’équation de Reynolds on se donne une série discrète d’instants (ti )i∈N avec un pas de temps constant ∆t. La dérivée temporelle de h(t) peut ainsi être approximée au premier ordre par ∂h ∂t = h(ti ) − h(t − 1) ∆t . Le problème en temps discret consiste alors à déterminer {hi = h(ti ), ri = r(ti ), pi (x) = p(ti , x)} à chaque instant ti , satisfaisant    hi − hi−1 = ∆tKh3 i−1 p ′′ i , si |x| ≤ ri , pi = 0, si |x| > ri , (3.13)  où, l’on propose d’approcher le terme cubique de l’équation de Reynolds (3.5) par h 3 i−1 , la hauteur du fluide à l’instant ti−1 . On justifie ce choix pour éviter les complexités liés à la non linéarité du terme cubique, sous la condition d’une validation ultérieur. Le problème à trois inconnues, décrit par (3.13), peut être réécrit en tirant profit du fait que l’évolution de la goutte se produit uniquement aux endroits où la pression de contact est non-nulle (soit p > 0 si l’on considère une force f > 0). On peut alors dire que le domaine de la goutte est le support du champ de pression p(t, x) et ainsi réduire le nombre d’inconnues. En conséquence, le problème consiste à trouver {hi , pi (x)} à chaque instant ti , satisfaisant    hi − hi−1 = ∆tKh3 i−1 p ′′ i , ∀x ∈ Ω si pi > 0 , hi − hi−1 = 0, ∀x ∈ Ω si pi = 0 , (3.14) avec la condition R Ω pidx = f et la condition initiale 2r0h0 = V, où Ω ⊂ R est un domaine contenant le support de p(t,0). Le problème précédent peut se réécrire comme un problème d’optimisation Inf-Sup, avec la fonction objectif définie par le lagrangien J(h, p) = Z Ω  −p(h − hi−1 ) − 1 2 ∆tK  h 3 i−1  (p ′ ) 2  dx + f h . (3.15) À chaque instant ti le problème d’optimisation consiste alors à trouver hi et pi (x), satisfaisant    J(hi , pi ) = infh∈Ch supp∈Cp J(h, p) , Ch = R+ , Cp = {p ∈ H1 (Ω) : p ≥ 0 ∀x ∈ Ω} . (3.16) Cette nouvelle formulation est importante car ici les zones de contact ne sont pas connues à l’avance et résultent de l’optimisation de la fonctionnelle J(h, p) en accord avec la définition faite pour la zone de contact. D’autre part, on voit que la fonctionnelle J(h, p) assure la régularité de p, au moins où hi−1 > 0. Examinons le lien entre la formulation duale (3.16) proposée et la formulation locale (3.14).