RESOLUTION THEORIQUE DE L’ÉQUATION ÉLÉMENTS FINIS MÜ+KU=F

CHOIX DE LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION

Considérons l’équation éléments finis ( 1.66) du modèle M4 en dynamique: M.Ü+K.U^F Cette équation représente un système d’équations linéaires du second ordre à coefficients constants, qui peut en principe être résolu par des méthodes standards de résolution. Cependant, dans les cas usuels de calcul de structures composites par éléments finis le nombre de ddl pouvant être très grand, la résolution par de telles méthodes est souvent lourde et coûteuse. Cela fait qu’en pratique, seules quelques méthodes sont capables de résoudre efficacement cette équation. Elles sont de deux types: les méthodes directes et les méthodes indirectes. Nous avons déjà évoqué succinctement ces deux types de méthodes, et nous avons rapporté qu’elles étaient pratiquement équivalentes en précision et erreurs numériques (cf.§DI.4.4 ). Nous allons ici les présenter avec un peu plus de détails, en mettant en évidence certains aspects qui nous permettront de faire le choix entre les deux. 

Les méthodes directes

Le mot ‘directe’ fait référence au fait qu’avant l’intégration numérique aucune transformation n’est appliquée à l’équation MÜ+KU=F, Les méthodes directes essayent de se ramener de la résolution d’un système non stationnaire MÜ+KU=F, à celle d’un système d’équations stationnaires dans chaque intervalle de temps. Pour cela, Fintervaîîe de temps est subdivisé en un nombre fini de pas de temps égaux, et des schémas d’approximation des dérivées première et seconde de type différences finies sont utilisés pour discrétiser l’équation MÜ+KU=F dans le temps. En assimilant les efforts d’accélération à des efforts d’inertie, l’équation MÜ+KU=F se traduit en chacun des points discrets de l’intervalle d’étude, par une équation d’équilibre de type statique. Il s’en suit alors, que toutes les techniques de résolution en statique peuvent être utilisées. Le coût d’une telle résolution en nombre d’opérations est de l’ordre de [K.J.Bathe &E.LWilson(1976}]: a-N.lar.s o>2 constante dépendant des caractéristiques des matrices utilisées; N l’ordre de la matrice globale à inverser: largeur de bande; s le nombre de pas de temps. Vu la taille des systèmes à résoudre, cette méthode de résolution paraît coûteuse, surtout lorsqu’un grand nombre s de pas de temps est nécessaire, comme dans le cas d’un choc lent. 

Les méthodes indirectes

Pour réduire la taille des systèmes à résoudre, les méthodes indirectes effectuent d’abord un changement de base U(î)=P.Y(t). Grâce à un choix judicieux de la matrice P, on peut obtenir un système constitué d’équations découplées à un seul ddl: yi(t) + u);.yI(t)=>I .Fit) i=l,…N (4.1)  éléments finís MÜ+KU=F où fy et (ût désignent respectivement les vecteurs propres et les valeurs propres du système matriciel K.^af.M.Q. Comme nous l’avons dit au chapitre précédent, l’équation (4.1) peut être résolue par l’une ou l’autre des techniques de résolution disponibles pour ce type d’équations (Intégrale de Duhamel, Schémas d’intégration de type différences finies…). La solution de l’équation (1.66) s’écrit alors: Um^a^.y.it) (4.2) Considérons l’une des équations yi(ï) + (û*.yï(i)-l,.y,(t). (4.3) Le nombre p de modes propres à prendre en compte (et donc par conséquent le temps de calcul), dépend de la structure et de ia vitesse de chargement. Pour des charges quasi-statiques (pesanteur par exemple), les 10 premiers modes (ceux pour lesquels les fréquences sont les plus faibles) suffisent pour calculer la réponse. Lorsque par contre le chargement est rapide, beaucoup de modes doivent être intégrés dans la solution. Le cas d’un choc par exemple, nécessite l’intégration d’environ les deux tiers de l’ensemble des modes [K.J.Bathe &. E.L.Wilson (1976)].