Schémas Numériques pour la Simulation des Grandes Echelles

Simulation des Grandes Échelles

Une spécicité de la modélisation d’incendies ou bien d’écoulements turbulents dans le circuit primaire d’un réacteur nucléaire tient dans la large gamme d’échelles spatiales à considérer : en eet, le domaine dans lequel évolue l’écoulement est de grande échelle (plusieurs mètres cubes) tandis qu’au c÷ur de l’écoulement se trouvent des structures (de taille inférieure à l’échelle d’observation) qui transportent la chaleur et sont appelées uctuations turbulentes. C’est sur le principe de séparation d’échelles que s’appuie la LES, nous le détaillons dans la suite.

Principe de la Simulation des Grandes Échelles

La LES a pour but de ne résoudre que les grosses structures de l’écoulement, tandis que l’eet des uctuations (échelles sous-maille) sur les grandes échelles est modélisé. Pour ce faire, nous considérons les équations de Navier-Stokes incompressibles (Système (1), Section 2, dont la deuxième relation traduisant la conservation de la masse est donnée par divu = 0). L’approche consiste à moyenner ces équations en espace (par convolution), et ensuite à faire commuter cette opération de ltrage (notée par le symbole barre supérieure) avec les dérivées spatiales et temporelles. En pratique, la taille du ltre est souvent dénie par les échelles de coupure, à savoir : la taille du domaine et celle des mailles, ces dernières limitant la taille des (petites) structures considérées. Ces deux opérations (ltrage et commutation) conduisent à des équations de conservation, qui gardent la même forme que les équations d’origine, pour les (grandes) échelles résolues de vitesse u et de pression p : 

Discrétisation spatiale 

Considérons un maillage régulier du domaine Ω constitué de quadrangles (si d = 2) ou d’hexaèdres (si d = 3). L’élément ni de Rannacher-Turek [83] a été choisi dans ISIS pour discrétiser la vitesse et la pression solutions de l’équation (4) car il est de bas degré et inf-sup stable. Cet élément ni mixte 22 est déni sur des quadrangles si d = 2 ou hexaèdres si d = 3 (Figure 3). Les inconnues de vitesse sont situées sur les arêtes si d = 2 (ou faces si d = 3) et le champ discret est Qf1 par maille. De plus, la valeur des degrés de liberté est déterminée par la moyenne de la fonction à travers les arêtes (si d = 2 ou faces si d = 3) : l’intégrale du saut de vitesse sur chacune d’entre elles est nulle. Ainsi, l’espace d’approximation est constitué de fonctions discontinues à travers les arêtes (ou faces) : l’élément ni de Rannacher-Turek est dit non conforme. Les inconnues de pression sont situées au centre des cellules et le champ discret est constant par mailles. Dans l’annexe A, se trouve le détail concernant la définition de cet élément ainsi que le rappel de certaines de ses propriétés .Par ailleurs, il est possible de travailler avec l’élément ni de Crouzeix-Raviart   déni de la même manière sur des triangles si d = 2 ou des tétraèdres si d = 3. Théoriquement, ce sont les éléments hexaédriques qui sont les plus ecaces. En eet, il y a moins d’informations à mémoriser dans ce cas. Par ailleurs, l’élément ni de Crouzeix-Raviart pose des problèmes de coercivité lorsque l’on utilise la forme physique du tenseur des contraintes (i.e. div(τ )). Mais ce n’est pas le point principal. Au delà, il semble que la qualité de la solution soit meilleure avec des quadrangles ou hexaèdres, surtout lorsque les principales lignes de courant sont parallèles aux faces des mailles (jets, tuyaux,…). 5 Discrétisation temporelle : méthode de projection (Chapitre I) Présentons la discrétisation en temps de base utilisée dans ISIS, à savoir la méthode de projection incrémentale. Pour ce faire, on considère une subdivision (t n )n∈[0,N] de l’intervalle de temps (0, T) où N est le nombre d’intervalles de la subdivision, et telle que t 0 = 0 et t N = T. Quitte à poser ∆t n = t n − t n−1 et ∆t = maxn∈[1,N] ∆t n , supposons le pas de temps xe noté ∆t. Dans la suite, on note f n l’approximation du champ f au temps t n . Considérons le problème de Stokes instationnaire incompressible, écrit ici pour ρ = 1 kg · m−3 et µ = 1 Pa · s. Nous supposons que des conditions au bord de type Dirichlet non homogènes sont imposées sur une partie ΓD de la frontière et des conditions au bord dites ouvertes sont présentes sur ΓN = ∂Ω \ ΓD .Le principe de la méthode de projection incrémentale pour la résolution du système (7) est le suivant : dans un premier temps, la contrainte d’incompressibilité est ignorée et l’équation de conservation de la quantité de mouvement (Première relation de (7)) est résolue avec une pression explicite an de fournir une première approximation de la vitesse appelée vitesse prédite. Dans un second temps, an d’obtenir une solution du problème de Stokes, la vitesse prédite est projetée sur l’espace des fonctions à divergence nulle. Pour la résolution des équations de Navier-Stokes compressibles, la méthode décrite dans ce paragraphe se généralise [68, 4] en projetant la vitesse prédite sur l’espace des vecteurs satisfaisant la contrainte donnée par l’équation de conservation de la masse (Deuxième relation de (7)).