Superlentille en champ proche en régime impulsionnel

Superlentille hors régime harmonique

Potentiel en régime impulsionnel

Nous avons vu en introduction qu’à la pulsation ωsp vérifiant ϵ(ωsp) + 1 = 0, le coefficient de transmission du film considéré t (es) p (K, ω) valait e Kh, où h est l’épaisseur du film. Le potentiel électrostatique est alors exalté à la traversée du film. Toutefois, dans le cas d’un matériau à pertes pour le film, ωsp est nécessairement complexe, et est approché en régime harmonique par ω ′ sp = Re(ωsp).Ainsi, on voit à l’aide de cette expression que le terme t˜(K, ω) agit comme un filtre spatial du champ à imager : le champ image correspond au champ de la charge source translaté de 2h et filtré par t˜(K, ω). Nous illustrerons les résultats obtenus avec le cas d’un film de carbure de silicium (SiC), d’épaisseur h = 440 nm, entouré d’air. Ce système est proche de celui utilisé par T et al. (2006b), le diélectrique entourant le film de SiC est ici remplacé par de l’air afin de simplifier les calculs. Nous modélisons la constante diélectrique du carbure de silicium par un modèle de Lorentz avec ϵ∞ = 6, 7, ωT O = 793 cm−1 , ωT O = 969 cm−1 et Γ = 4, 76 cm−1 (données de S et al. 1959 et P et G 1998, ajustées par M 2004). On a représenté, sur la figure 3.4, t˜(K, ω) à la pulsation ω ′ sp, ainsi qu’à des pulsations proches. On remarque sur cette figure que t˜(K, ω′ sp) est constant et vaut 1 aux faibles K et décroit exponentiellement aux grandes valeurs de K. On observe que la fréquence (spatiale) de coupure est plus grande pour ω = ω ′ sp. Ceci illustre à la fois le rôle joué par les ondes de surface pour augmenter la résolution et l’existence d’une fréquence de coupure due aux pertes. Nous allons voir qu’il est possible, hors du régime harmonique, de tirer parti des propriétés de t˜(K, ω) afin de compenser partiellement sa décroissance rapide, ce qui permettra d’améliorer la résolution de la superlentille. Nous souhaitons étudier le potentiel induit par des sources de forme temporelle quelconque. Ainsi, nous sommons sur les pulsations ω l’expression (3.5) (multipliée par sa dépendance temporelle e −iωt), 

Réponse impulsionnelle 

Nous nous intéressons maintenant au filtre spatial t˜(K, t) (équation 3.9), figurant dans l’expression (3.8) du potentiel créé par une charge impulsionnelle δ(t) n’existant qu’à t = 0. On montre en annexe E.1 que t˜(K, ω), qui figure dans l’expression (3.9), peut se séparer en contributions des modes du film, ainsi que d’une contribution de la réponse instantanée du système. En utilisant l’équation (E.3), on peut alors effectuer l’intégrale figurant dans (3.9), et on obtient pour t˜(K, t), t˜(K, t) = SKδ(t) − iRS,KH(t)e −iωS,Kt − iRA,KH(t)e −iωA,Kt + c.c., (3.10) où l’expression c.c. (complexe conjugué) s’applique uniquement aux deux termes −iRS,KH(t)e −iωS,Kt et −iRA,KH(t)e −iωA,Kt . Le terme SKδ(t) est une réponse instantanée du système (elle est proportionnelle à la dépendance temporelle δ(t) de la charge source). Le terme −iRS,KH(t)e −iωS,Kt et son complexe conjugué sont la contribution du mode symétrique du film, de relation de dispersion ωS,K tracée sur la figure 3.5(a,rouge), et de potentiel représenté sur la figure 3.6 (gauche). Le terme complexe conjugué [−iRS,KH(t)e −iωS,Kt ] ∗ = iR∗ S,KH(t)e −i(−ω ∗ S,K)t est dit « antirésonant » au sens où sa pulsation −ω ∗ S,K a une partie réelle négative. De la même manière, le terme −iRA,Ke −iωA,Kt et son complexe conjugu correspondent à la contribution du mode antisymétrique, de relation de dispersion ωA,K tracée sur la figure 3.5(a,bleu) et de potentiel représenté sur la figure 3.6, et le complexe conjugué est dit antirésonant. La figure 3.5(b) montre la durée de vie des modes associés aux relations de dispersion. On voit qu’à une excitation impulsionnelle correspond une réponse (oscillante) amortie dont la durée est donnée par la durée de vie des plasmons. Le point clé est qu’il n’y a plus de repliement dans la relation de dispersion. On a accès ici à tous les vecteurs d’onde. Le prix à payer est la courte durée de vie de ces modes, qui est ici constante et vaut τ ≈ 1, 1 ps

Impulsion de fréquence complexe

On a tracé le module des différentes contributions à t˜(K, ω′ sp) sur la figure 3.7 (gauche) Sur cette figure, on peut remarquer que les contributions des modes symétriques et antisymétriques décroissent exponentiellement et sont proportionnelles pour K ≳ 6 rad.µm−1 à e −Kh. Pour K ≳ 8 r on remarque également que le module de t˜(K, ω′ sp) est inférieur à la somme des modules des contributions des modes symétriques et antisymétriques . On peut vérifier (non représenté) que les contributions des modes symétriques et antisymétriques sont opposées à ces valeurs de K. Ceci s’explique par les signes opposés des potentiels de ces deux modes s’ils sont excités en phase. Lorsque les pertes sont faibles – aux faibles K, le terme 1 ω′ sp−ωp,K (voir équations 3.17 ci-dessous, p = S ou A) a des signes différents pour chacun de ces modes, et ils sont de nouveau en phase. Si les pertes sont importantes, comme c’est le cas ici, on a 1 ω′ sp−ωp,K ∼ 1 −Im(ωp,K) , dont le signe est le même pour les modes symétriques et antisymétriques, qui s’opposent à nouveau. Ainsi, t˜(K, ω′ sp) varie asymptotiquement comme leur différence, en e −2Kh et non plus e −Kh : la décroissance de t˜(K, ω′ sp) est accentuée par rapport à celle des contributions séparées des modes du film. Sur la figure 3.7 (droite), nous avons représenté les différentes contributions de t˜(K, ωsp). On voit dans ce cas que les contributions des modes symétriques et antisymétriques sont constantes aux grands K, et t˜(K, ωsp) également. Afin d’exploiter les propriétés de t˜(K, ωsp), nous allons employer une charge source avec une dépendance temporelle de la forme f(t) = H(t)e −iωspt , représentée sur la figure 3.8, et que nous nommerons ici « impulsion de fréquence complexe » (impulsion FC).