Sur les groupes pleins préservant une mesure de
probabilité

Autour de l’odomètre 

Un modèle de relation hyperfinie ergodique Soit S2n le groupe symétrique sur l’ensemble {0, 1} n . Un tel groupe est inclus naturellement dans S2n+1 via ↵n : S2n ,! S2n+1 définie par ↵n(σ)(x1, …, xn+1)=(σ(x1, …, xn), xn+1). On note S21 la réunion croissante S n2N S2n , appelée groupe des permutations dyadiques. La propriété clé du groupe S21 est qu’il agit de manière p.m.p. sur (X, µ) = ({0, 1} N , B(1/2)), où B(1/2) = ( 1 2 δ0 + 1 2 δ1) ⌦N est la mesure de Bernoulli de paramètre 1/2. L’action p.m.p. est la suivante : étant données (xk)k2N 2 {0, 1} N et σ 2 S2n , on pose a(σ)(xk)k2N = (σ(x1, …, xn), xn+1, xn+2, …). Remarque 2.1. De manière à ne pas confondre S21 et son action a sur ({0, 1} N , B(1/2)), on notera Se21 = a(S21) 6 Aut(X, µ) et Se2n = a(S2n ) 6 Se21. La relation d’équivalence p.m.p. R0 engendrée par l’action de S21 est définie par (xn)n2N R0(yn)n2N ssi il existe p 2 N tel que xn = yn pour tout n > p. Il est facile de voir qu’elle est hyperfinie, les relations finies croissantes dont elle est l’union étant les R0 p définies par (xn)n2N R0 p (yn)n2N ssi xn = yn pour tout n > p. On peut aussi comprendre l’action de S21 en considérant l’algèbre des ouverts-fermés de {0, 1} N . Étant donné un mot fini s 2 {0, 1} n , on lui associe un cylindre Ns de longueur n défini par Ns = {x 2 {0, 1} N : x!n = s}. Notons qu’un cylindre de longueur n est de mesure 1 2n , et que c’est un ouvert-fermé de {0, 1} N muni de la topologie produit. L’algèbre engendrée par de tels cylindres est dénombrable, on la note M0, c’est l’algèbre des ouverts-fermés de {0, 1} N . En utilisant la régularité de µ, on peut voir que M0 est dense dans MAlg(X, µ). On a une action naturelle a de S21 sur M0, définie de manière unique par a(σ)Nx1,…,xn,…,xp = Nσ(x1,…,xn),…,xp pour σ 2 Sn, p > n et (x1, …, xp) 2 {0, 1} p . Cette action par isométries s’étend alors de manière unique au complété de M0, qui n’est d’autre que MAlg(X, µ), et coïncide avec l’action définie précédemment 1 . Comme S21 agit transitivement sur les cylindres de même longueur, on a la proposition suivante. Proposition 2.2. R0 est ergodique. Nous allons maintenant définir l’odomètre, qui engendre R0 à mesure nulle près, et que l’on peut voir comme comme “l’addition de (1, 0, 0, 0…) avec retenue à droite”. Définition 2.3. Soit T0 2 Aut({0, 1} N , B(1/2)) l’odomètre, défini par : pour toute suite (xn)n2N 2 {0, 1} N , si n0 est le premier entier n tel que xn = 0, alors T0((xn)n2N) est 1. D’après l’annexe B, se donner une bijection p.m.p. de (X, µ) à mesure nulle près revient à se donner un automorphisme de l’algèbre de mesure MAlg(X, µ), ce que nous faisons ici. 31 32 2. AUTOUR DE L’ODOMÈTRE la suite (yn)n2N où yn = 8 < : 0 si n1 R0 p où R0 p est la relation d’équivalence “coïncider à partir du rang p”. Par la proposition 1.18, la réunion croissante des groupes pleins des R0 p est dense dans le groupe plein de R0. Il s’agit donc maintenant de comprendre le groupe plein de R0 p . Pour cela nous allons donner une version “concrète” de la proposition 1.49 en identifiant le groupe plein de R0 p au groupe L 0 ({0, 1} N , B(1/2), S2 p ) des applications mesurables de {0, 1} N dans S2 p identifiées à mesure nulle près. Soit T : {0, 1} N ! {0, 1} N un élément du pré-groupe plein de Rp, c’est-à-dire un automorphisme borélien de X tel que pour tout x 2 X, T(x) R0 p x. Étant donné y 2 {0, 1} N et s 2 {0, 1} p , on doit avoir T(s a y) R0 p s a y, ce qui implique que, si on écrit T(s a y) = s 0 a y 0 avec s 0 2 {0, 1} p et y 0 2 {0, 1} N , on a en fait y 0 = y. Comme T est une bijection de {0, 1} N , on dispose en fait pour tout y 2 {0, 1} N d’une permutation σ T y 2 S2 p telle que pour tout s 2 {0, 1} p , T(s a y) = σ T y (s) a y. Ainsi, le groupe plein de R0 p s’identifie bien à L 0 ({0, 1} N , B(1/2), S2 p ). Nous allons en déduire la proposition suivante. 1. UN MODÈLE DE RELATION HYPERFINIE ERGODIQUE 33 Proposition 2.4. Le groupe Se21 des permutations dyadiques est dense dans le groupe plein de R0. Démonstration. D’après la proposition 1.18, la réunion croissante des groupes pleins des R0 p est dense dans le groupe plein de R0, et il suffit donc d’approcher les éléments de [R0 p ] par des éléments de Se21. Soient donc p 2 N et T un élément du groupe plein de R0 p . Dans cette démonstration, on voit systématiquement les éléments de [R0 p ] comme des applications mesurables de {0, 1} N à valeurs dans Sp. En particulier, T est uniquement défini par la partition borélienne (Aσ)σ2S2p de X donnée par Aσ = {y 2 {0, 1} N : ‘(y) = σ}. Étant donné ✏ > 0, on dispose alors, par densité de M0 dans MAlg(X, µ), d’une partition en ouverts-fermés (Bσ)σ2S2p de X telle que pour σ 2 S2 p , µ(Aσ 4 Bσ) < ✏ (2p)! . Soit l la longueur maximale des cylindres dont les Bσ sont des réunions finies. L’élément T˜ 2 [R0 p ] défini par T˜(y) = σ pour tout y 2 Bσ est ✏-proche de ‘ pour la distance uniforme, et appartient à Se 2 p+l . ⇤ On va présenter encore deux autres manières de construire un odomètre. La première sera le prétexte d’une petite parenthèse sur les actions profinies, mais rendra également la seconde plus naturelle. Définition 2.5. Soit Γ un groupe dénombrable, résiduellement fini. Soit (Γn) une suite décroissante de sous-groupes de Γ d’indice fini, dont l’intersection est {e}. Alors on a une suite de quotients Γ/Γn et des projections ⇡n : Γ/Γn+1 ! Γ/Γn. La limite projective X = proj lim Γ/Γn peut être munie de la mesure limite des mesures de comptage renormalisées µn. On dispose alors d’une action profinie Γ y (proj limn Γ/Γn, proj limn µn). Soit Γ un groupe dénombrable discret. Une action p.m.p. ergodique de Γ sur (X, µ) est dite compacte s’il existe un groupe compact K dont Γ est un sous-groupe dense et un sous-groupe fermé L de K telle que l’action de Γ sur (X, µ) soit conjuguée à l’action par translation à gauche sur (K/L, µHaar). La proposition suivante est souvent prouvée en utilisant la caractérisation des actions compactes en termes de représentation de Koopman ; nous proposons ici une preuve directe élémentaire. Proposition 2.6. Toute action profinie est compacte. Démonstration. Soit Γ y (proj limn Γ/Γn, proj limn µn) une action profinie. On pose, pour tout n, Γ 0 n = T γ2Γ γΓnγ −1qui est un sous-groupe d’indice fini de Γ puisque c’est le noyau de l’action de Γ sur Γ/Γn. On définit alors K = proj lim Γ/Γ 0 n . On a un plongement canonique φ : Γ ! K qui à un élément γ 2 Γ associe la suite des ⇡n(γ) (où ⇡n est la projection Γ ! Γ/Γ 0 n ). On note L l’ensemble des suites (gn)n2N 2 K telles que pour tout n, gn 2 ⇡n(Γn). C’est un sous-groupe de K, fermé car c’est une intersection de fermés. Alors, l’action de Γ par translation à gauche sur K/L s’identifie niveau par niveau avec l’action de Γ sur Γ/Γn : ce sont donc deux actions profinies conjuguées. ⇤ Remarque 2.7. La preuve revient essentiellement à dire que si N est un sous-groupe distingué de Γ inclus dans un sous-groupe Λ quelconque, alors Γ/Λ ‘ (Γ/N)/(Λ/N). Nous pouvons maintenant revenir à l’odomètre et montrer que c’est un exemple d’action profinie. Proposition 2.8. Soit Z2 = proj lim Z/2 nZ le groupe des entiers dyadiques. Alors l’odomètre est conjugué à l’action par translation de 1 2 Z sur Z2

Un modèle de relation hyperfinie apériodique

Soit (Y,⌫) un espace de probabilité standard avec d’éventuels atomes. Soient X = Y ⇥ {0, 1} N et µ = ⌫ ⌦ B(1/2) où B(1/2) = ( 1 2 δ0 + 1 2 δ1) ⌦N est la mesure de Bernoulli de paramètre 1/2. Alors (X, µ) est un espace de probabilité standard, que l’on munit de la relation d’équivalence p.m.p. RY 0 = idY ⇥ R0, c’est-à-dire que (y,(xn)n2N)) RY 0 (y 0 ,(x 0 n )n2N) , y = y 0 et 9p 2 N, 8n > p, xn = x 0 n . Notons que RY 0 est engendrée par T Y 0 = idY ⇥ T0, où T0 est l’odomètre. La proposition suivante fait appel au groupe des applications mesurables de Y dans [R0] identifiées à mesure nulle près; pour des rappels concernant cet espace, on consultera l’annexe C. Proposition 2.14. Le groupe plein de RY 0 muni de la distance uniforme s’identifie isométriquement à (L0 (Y, ⌫, [R0]), d1 u ), où d 1 u est définie par : pour tous f,g : Y ! [R0], d 1 u (f,g) = Z Y du(f(y), g(y))d⌫(y). Démonstration. Soient ‘ un élément du pré-groupe plein de RY 0 , et ⇡ la projection Y ⇥ {0, 1} N ! {0, 1} N . On note λ = B(1/2) la mesure de Bernoulli de paramètre 1/2. Soit alors pour y 2 Y , ‘y : z 2 {0, 1} N 7! ⇡(‘(y, z)). Alors pour tout y 2 Y , ‘y est un élément du pré-groupe plein de R0, qui passe au quotient en une application ‘˜y 2 [R0]. Pour voir que l’application y 7! ‘˜y définit un élément de L 0 (Y, ⌫, [R0]), il suffit de vérifier qu’elle est mesurable. Comme [R0] est séparable, il suffit de montrer que l’image réciproque de toute boule dans [R0] est mesurable. Soient donc 2 [R0] et ✏ > 0, on a du( ˜’y, ) < ✏ ssi λ({z 2 {0, 1} N : ‘(y, z) = (z)}) < ✏. Comme l’ensemble A des couples (y, z) 2 Y ⇥ {0, 1} N tels que ‘(y, z) = (z) est mesurable, le théorème de Fubini nous assure donc la fonction qui à y associe λ(Ay) est mesurable, autrement dit que y 7! λ({z 2 {0, 1} N : ‘(y, z) = (z)}) = du( ˜’y, ) est mesurable, ce qu’il fallait démontrer. Nous obtenons ainsi un morphisme de groupes du pré-groupe plein de RY 0 à valeur dans L 0 (Y, ⌫, [R0]) qui passe au quotient en un morphisme Φ:[RY 0 ] ! L 0 (Y,⌫[R0]). Ce morphisme est une isométrie puisque par le théorème de Fubini, pour tous S, T 2 [RY 0 ], 

AUTOUR DE L’ODOMÈTRE

on a du(S, T) = ⌫ ⌦ λ({(y, z) 2 Y ⇥ {0, 1} N : S(y, z) 6= T(y, z))}) = Z Y λ({z 2 {0, 1} N : S(y, z) 6= T(y, z)})d⌫(y) = Z Y du(Φ(S)(y), Φ(T)(y))d⌫(y) = d 1 u (Φ(S), Φ(T)). La surjectivité de l’isométrie Φ peut ensuite se voir en utilisant la partie dense de L 0 (Y, ⌫, [R0]) donnée par la proposition C.5, dont les éléments sont réalisés par des éléments du prégroupe plein de RY 0 . Plus précisément, une partie dense de L 0 (Y, ⌫, [R0]) est donnée par l’ensemble des applications Y ! [R0] à image dénombrable. Or, si f : Y ! [R0] est une telle application, on dispose par définition d’une suite (Tn)n2N d’éléments de [R0] et d’une partition (An)n2N de Y telle que pour tout y 2 An, f(y) = Tn. Il est alors clair que l’application T : Y ⇥ {0, 1} N ! Y ⇥ {0, 1} N obtenue en recollant les idAn ⇥ Tn définit un élément de [RY 0 ] dont l’image par Φ est f, d’où la surjectivité de Φ. ⇤ Remarque 2.15. La preuve précédente n’utilise rien de spécifique sur R0, de sorte que la proposition reste vraie pour RY = idY ⇥R construite à partir de R p.m.p. quelconque, ce qui généralise la proposition 1.49. Ce qui suit nous sera utile pour trouver des générateurs topologiques du groupe plein de RY 0 . Proposition 2.16. Soit M0 une sous-algèbre dense de MAlg(Y,⌫). Alors la réunion croissante en n 2 N des groupes des applications M0-mesurables à valeurs dans Se2n est dense dans le groupe plein de RY 0 . Démonstration. Par la proposition 2.4, le groupe Se21 des permutations dyadiques est dense dans le groupe plein de R0. Or la proposition précédente nous dit que le groupe plein de RY 0 est isomorphe à L 0 (Y, ⌫, [R0]), et d’après la proposition C.5, les applications M0-mesurables à valeur dans un sous-ensemble fini de Se21 sont denses dans [RY 0 ] = L 0 (Y, ⌫, [R0]), d’où le résultat. ⇤ Donnons maintenant l’analogue de la proposition 2.13 dans le cas non ergodique. La preuve est essentiellement la même. Proposition 2.17. Fixons une sous-algèbre fermée N = MAlg(Y,⌫) de MAlg(X, µ). On suppose donnée une suite (‘k) d’échelles de hauteur 2 k se raffinant successivement, telles que chaque ‘k préserve la mesure conditionnelle par rapport à MAlg(Y,⌫), et que la réunion croissante des algèbres engendrées par ‘k et MAlg(Y,⌫) soit dense dans MAlg(X, µ). Alors la limite des ‘k est conjuguée à idY ⇥ T0, où T0 est l’odomètre, et ce via un isomorphisme au dessus 2 de MAlg(Y,⌫). Démonstration. Soit ( k) la suite des échelles sur (Y ⇥{0, 1} N , ⌫⌦B(1/2)) obtenues en restreignant idY ⇥ T0 à Y ⇥ ({0, 1} N \ N1 k ). Comme pour la preuve de la proposition 2.13, on construit une suite d’isomorphismes (Φk)k2N⇤ entre l’algèbre engendrée par ‘k et l’algèbre engendrée par les cylindres de longueur k sur MAlg({0, 1} N , B(1/2)) ✓ MAlg(Y ⇥ {0, 1} N , ⌫ ⌦ B(1/2)), qui conjugue les 2. Un isomorphisme au dessus de MAlg(Y,ν) est un isomorphisme qui préserve la mesure conditionnelle par rapport à MAlg(Y,ν) (cf. la proposition D.2 et le paragraphe qui la suit).  actions de ‘k et k sur ces sous-algèbres, et qui se prolongent successivement. Plus précisément, si on note Ak la base de ‘k, l’isomorphisme Φk est défini sur les atomes de l’algèbre engendrée par ‘k par Φk(‘ i k (Ak)) = Y ⇥ T k 0 (N0 k ) pour i = 0, …, 2 k − 1. Soit Mk l’algèbre engendrée par ‘k et MAlg(Y,⌫). On prolonge le domaine de définition de chaque Φk à Mk en posant, pour B 2 MAlg(Y,⌫) et i 2 {0, …, 2 k − 1}, Φk(B \ ‘ i k (Ak)) = B ⇥ T k 0 (N0 k ). Comme la réunion croissante des algèbres engendrées par les ‘k et MAlg(Y,⌫) est dense dans MAlg(X, µ), on obtient à la limite un isomorphisme Φ entre deux sous-algèbres denses qui conjugue idY ⇥ T0 à la limite des ‘k. Cet isomorphisme s’étend de manière unique en une véritable conjugaison. ⇤ Remarque 2.18. Soient ‘ et deux échelles, la première étant de hauteur 2 k , et la deuxième de hauteur 2 k+l . On suppose que prolonge ‘, alors en restreignant on dispose d’une suite finie d’échelles intermédiaires (‘i) l i=1 telles que ‘ ✓ ‘1 ✓···✓ ‘l ✓ , où ‘i est de hauteur 2 k+i . Ainsi, la conclusion de la proposition précédente s’applique également si on dispose seulement d’une suite croissante (‘i) d’échelles de hauteur 2 ki telles que chaque ‘i préserve la mesure conditionnelle par rapport à N, et que la réunion croissante des algèbres engendrées par ‘i et MAlg(Y,⌫) soit dense dans MAlg(X, µ). 3. Décomposition ergodique et sous-relation hyperfinie Dans cette section, nous allons établir un théorème de décomposition ergodique pour les relations d’équivalence p.m.p. (théorème 2.21) qui découlera d’un énoncé général sur les groupes pleins. Notre résultat est plus faible que le théorème de décomposition ergodique uniforme, établi par Varadarajan [Var63] qui, étant donné une relation d’équivalence borélienne R à classes dénombrables sur un borélien standard X, fournit une application de X dans l’ensemble des mesures de probabilités R-ergodiques qui sera la désintégration de toute mesure R-invariante. Ici, le fait de désintégrer la seule mesure µ en travaillant directement dans MAlg(X, µ) simplifie considérablement la preuve, tout en fournissant un énoncé suffisamment fort pour couvrir nos besoins. Soit donc G un groupe plein sur un espace de probabilité standard (X, µ). Soit MG l’algèbre des ensembles G-invariants, on dispose de (Y,⌫) espace de probabilité standard avec d’éventuels atomes tel que MG soit isomorphe à MAlg(Y,⌫). Quitte à fixer un tel isomorphisme, on peut supposer que MG = MAlg(Y,⌫). D’après le corollaire D.4, si G est de type II, alors MAlg(X, µ) est isomorphe à MAlg(Y ⇥ {0, 1} N , ⌫ ⌦ B(1/2)), et ce via un isomorphisme au dessus de MAlg(Y,⌫), c’est-à-dire un isomorphisme préservant la mesure conditionnelle par rapport à MAlg(Y,⌫) (cf. proposition D.2 pour une autre condition équivalente). Le théorème suivant raffine ce résultat en permettant de construire un tel isomorphisme qui de plus conjugue G à un groupe contenant le groupe plein de RY 0 . Théorème 2.19. Soit G un groupe plein de type II, soit MG = MAlg(Y,⌫) l’algèbre des ensembles G-invariants. Alors il existe un isomorphisme entre MAlg(X, µ) et MAlg(Y ⇥ {0, 1} N , ⌫ ⌦ B(1/2)) au dessus de MAlg(Y,⌫) qui conjugue G à un groupe plein G0 contenant le groupe plein de RY 0 , où RY 0 est définie par (y,(xn)n2N)) RY 0 (y 0 ,(x 0 n )n2N) , y = y 0 et 9p 2 N, 8n > p, xn = x 0 n . Démonstration. Par la remarque 2.18, pour conjuguer G à un groupe plein contenant le groupe plein de RY 0 , il suffit de trouver une suite d’échelles (‘i)i2N 2 [[G]]N de 38 2. AUTOUR DE L’ODOMÈTRE B ϕ(B) ϕ 3 ϕ (B) 2 (B) ϕ −1 ϕ −2 ϕ −3 B0 A B1 B2 B3 Figure 3. Comment approcher A. Tout est ramené en B via ‘ −1 , ‘ −2 et ‘ −3 . Les petits carrés sont les Cj . hauteur 2 ki telles que la réunion croissante des algèbres engendrées par ‘i et MAlg(Y,⌫) soit dense dans MAlg(X, µ). De plus, le fait que G préserve la mesure conditionnelle par rapport à MAlg(Y,⌫) nous garantira que la conjugaison obtenue préserve la mesure conditionnelle par rapport à MAlg(Y,⌫), c’est-à-dire que c’est un isomorphisme au dessus de MAlg(Y,⌫) Soit donc (Ai)i2N une suite dense d’éléments de MAlg(X, µ) où chaque terme apparait une infinité de fois. Pour que la réunion croissante des algèbres engendrées par ‘i et MAlg(Y,⌫) soit dense dans MAlg(X, µ), il suffit que l’algèbre engendrée par ‘i et MAlg(Y,⌫) contienne Ai à ✏i près, avec ✏i ! 0. Autrement dit, il suffit de prouver le lemme suivant, qui permet de construire de tels ‘i par récurrence. Lemme 2.20. Soit ‘ 2 [[G]] une échelle de hauteur 2 k . Alors pour tout A 2 MAlg(X, µ) et ✏ > 0, il existe l 2 N et une échelle 2 [[G]] de hauteur 2 k+l prolongeant ‘, telle que l’algèbre engendrée par et MAlg(Y,⌫) contienne A à ✏ près. Soit B la base de ‘. Pour i allant de 0 à 2 k − 1, soit Bi = A \ ‘ i (B), et on considère la sous-algèbre M de MAlg(B, µ µ(B) ) engendrée par les ‘ −i (Bi). Comme B est de mesure conditionnelle par rapport à MAlg(Y,⌫) constante, on peut voir MAlg(Y,⌫) comme une sous-algèbre de MAlg(B, µ µ(B) ) via D ✓ Y 7! D\B. Le corollaire D.4 nous dit alors que l’inclusion MAlg(Y,⌫) ✓ MAlg(B,µB) est isomorphe à l’inclusion naturelle de MAlg(Y,⌫) dans MAlg(Y ⇥ {0, 1} N , ⌫ ⌦λ). Dans MAlg({0, 1} N , B(1/2)), on dispose d’une sous-algèbre dénombrable dense S n2N Mn, où Mn est l’algèbre engendrées par les cylindres de longueur n. Soit alors Nn ✓ MAlg(Y ⇥ {0, 1} N , ⌫ ⌦ B(1/2)) l’algèbre engendrée par Mn et MAlg(Y,⌫). La réunion croissante des Nn est dense dans MAlg(Y ⇥{0, 1} N , µ⌦B(1/2)), ce qui permet d’approcher avec une précision arbitraire les éléments de M par des élément de Nn. Autrement dit, il existe p 2 N tel que Np contienne à ✏/2 k près tous les éléments de M.