Synthèse de l’analyse des pages « Logique » des manuels de Seconde

Dans tous les manuels analysés, de 1969 comme de 2010, l’étude des notions de logique comporte des considérations sur le langage. Mais les fonctions assignées à la logique ne sont pas partout les mêmes, et dépendent des préconisations des différents programmes. En 1969, l’enjeu était la construction d’un langage mathématique qui devait permettre à la fois de donner des outils d’analyse du monde réel, mais aussi de diminuer les inégalités dues à une meilleure maîtrise de la langue française dans certains milieux. La logique ma- thématique était alors clairement utilisée comme référence pour la maîtrise de ce langage mathématique. En 2009, il n’y a plus cet enjeu, le travail sur le langage est plutôt décrit comme un travail sur la maîtrise de la langue française qui aurait des usages particuliers en mathématiques, mais sans langage formalisé faisant référence.Dans la constitution des systèmes logiques étudiés dans la première partie de cette thèse, ce travail sur le langage est un préalable au discours sur le raisonnement. C’est en partie le cas en 1969, au moins dans Queysanne-Revuz et Aleph 0 qui associent schémas de raisonnement et calcul propositionnel (lien avec des lois logiques justifiées par les tables de vérité pour le premier, lien avec des tautologies admises comme théorèmes pour le deuxième). Dans les manuels de 2010, les types de raisonnement sont seulement listés, sans réelle justification de leur validité (pour le raisonnement par contraposée, plusieurs manuels mentionnent l’équivalence entre une implication et sa contraposée, mais sans jus- tification). L’aspect technique est davantage mis en avant, et la logique n’est pas invoquée comme théorie justifiant la technique. Par exemple, les manuels de 2010 parlent tous de contre-exemple, mais un seul d’entre eux justifie la validité du raisonnement par contre- exemple en faisant le lien avec le fait que la négation d’une proposition universelle est une proposition existentielle.

Les manuels de 1969 semblent tous suivre une même ligne directrice 12 : logique mathéma- tique et langage des ensembles sont la référence (ce qui est explicite dans le commentaire de 1970 qui accompagne le programme de 1969), les notions sont traitées comme des objets, dont les manuels donnent des définitions et des propriétés. Il ne s’agit pas pour autant de proposer un cours de logique mathématique, et les trois manuels étudiés sont d’ailleurs plus ou moins proches du vocabulaire et des notations de la logique mathéma- tique. Le plus rigoureux dans ce domaine est Queysanne-Revuz, dont le propos est clair du point de vue de la logique, et articulé avec l’activité mathématique. A. Revuz est un mathématicien très impliqué dans la réforme des mathématiques modernes, et il n’est pas étonnant que ces pages du manuel qu’il co-écrit semblent être le fruit d’une réelle réflexion sur le enjeux d’un tel enseignement au lycée. Lespinard reste également assez proche de la logique mathématique, mais avec moins de recul sur celle-ci et sur son articulation avecle reste de l’activité mathématique. Par exemple, ces deux manuels proposent des impli- cations à prémisse fausse entre des propositions qui n’ont pas de lien sémantique entre elles. Mais Queysanne-Revuz les commente en disant que « dans la définition de l’impli- cation logique, considérée seule, il n’y a aucune idée de déduction », délimitant bien ici le connecteur IMPLIQUE, alors que Lespinard conclut « on dit en logique que du faux on peut déduire n’importe quoi », confondant ainsi implication et déduction. Aleph 0 est plus éloigné de la logique mathématique, mais elle est quand même présente comme référence explicite (par exemple ce manuel donne certaines tautologies liées au raisonnement). Dans ces trois manuels de 1969, les notions de logique sont donc présentes dans leur dimen- sion outil et dans leur dimension objet. Ces deux dimensions sont articulées à travers des commentaires sur l’activité mathématique s’appuyant sur la logique mathématique.