Théorie de Sturm-Liouville

Introduction 

La théorie de Sturm-Liouville joue un role important dans la résolution de nombreux problèmes de la physique mathématique. Il est un domaine actif de recherche en mathématiques pures et appliquées. Ces dernières années, il y a eu un intér’t croissant pour les problèmes de Sturm-Liouville avec des conditions aux limites dépendantes d’une valeur propre. Il existe une large littérature sur ce sujet. Plusieurs équations de la physique mathématique telles que l’équation des ondes, l’équation de Schrˆdinger etc… peuvent ‘tre traitées gr‚ce à la méthode des séparations des variables qui ramène ces équations aux dérivées partielles, à des équations di§érentielles linéaires du second ordre de la forme (x)u00 + (x)u0 + (x)u = u; o˘  2 C équations dont on cherche les solutions u satisfaisant à des conditions imposées par le problème physique étudié. En outre, certains problèmes aux limites qui peuvent avoir des discontinuités dans la solution ou dans sa dérivée en un point c intérieur, sont également étudiés. Des conditions sont imposées aux limites à gauche et à droite de solutions et de leurs dérivées à un point c intérieur et sont souvent appelées des conditions de transmission ou des conditions d’interface. En outre, certains problèmes liés aux conditions de transport résultent des problèmes de conduction thermique pour une plaque mince laminée (par exemple, une plaque composée de matériaux ayant des caractéristiques di§érentes empilées dans l’épaisseur). Dans cette classe de problèmes, les conditions de transmission à travers les interfaces doivent ‘tre ajoutées lorsque la plaque est laminée. L’étude de la structure de la solution dans la région de la couche correspondante à la solution de base dans la plaque, conduit à l’étude d’un problème aux valeurs propres pour un opérateur di§érentiel du second ordre avec des coe¢ cients continus par morceaux et des conditions de transmissions. 8 2. Introduction La théorie des opérateurs non auto-adjoints joue un grand role dans des domaines di§érents et variés de la physique mathématique qui constituent un des thèmes majeurs. Certains problèmes physiques peuvent ‘tre directement modélisés par des équations linéaires. La modélisation mathématique par les équations aux dérivées partielles suivie de l’analyse théorique et numérique laquelle à son tour est confrontée à l’expérience, est devenue une démarche de base. De nombreux problèmes spectraux se rencontrent dans les applications (calcul des niveaux d’énergie et des états en mécanique quantique, criticité en neutronique, transmission dans un guide d’onde, une Öbre optique, etc…) La théorie spectrale qui permet de les traiter dépend notamment du spectre continu, source de nombreuses di¢ cultés. Le chapitre I est un rappel succint des résultats et travaux relatifs à l’opérateur de transport et aux problèmes aux limites non locaux. Il est évident que dans ce domaine riche et fertile mais néamoins di¢ cile que toute avancée minime soit elle représente un intér’t scientiÖque certain. Nous y avons également regroupé les résultas obtenus par d’autres auteurs ainsi que les di§érentes méthodes utilisées ayant un lien direct avec notre problématique. Dans ce chapitre, notre but est d’introduire la méthode de Friedrichs appliquée à l’opérateur de Sturm-Liouville dans une série de modèles élaborés [10; 34; 59; 60; 59] et tirer de cela des résultats sur le spectre. Une application du modèle de Friedrichs à l’opérateur de transport établie par Diaba et Cheremnikh [13] est présentée d’une manière détaillée dans notre thèse. Nous avons aussi exposé quelques résultats sur le comportement asymptotique des solutions de certaines équations d’évolution (voir [6], [5], [11]). Ce rappel susdit d’un ensemble de résultats et travaux nous a fortement motivé pour envisager cette étude. Les résultats sont basés essentiellement sur les travaux de Cheremnikh et Diaba [13], [15] indispensables pour l’étude des cas plus généraux.