UNE REPRESENTATION PROBABILISTE DE POISSON

LE SERPENT BROWNIEN 

Nous utilisons le processus stochastique appelé serpent brownien pour déterminer les solutions d’une équation différentielle partielle ∆u = u 2 dans un domaine plan D de classe C 2 . Il fournit une approche plus efficace et plus « trajectorielle » pour démontrer des énoncés analytiques par des méthodes probabilistes. 

 Définition 

On appelle serpent brownien, un processus fort de Markov, continu à valeurs dans un espace de trajectoires arrêtées dans R 2 où la trajectoire arrêtée est une application continue w : [0,ζ] → R 2 et le nombre ζ = ζw ≥ 0 est appelé temps de vie de la trajectoire. 

 Propriétés 

Soit W l’ensemble de toutes les trajectoires arrêtées dans R 2 . Cet ensemble est associé à une distance d(w,w′ ) = |ζ − ζ ′ | + sup t≥0 |w(t ∧ ζ) − w ′ (t ∧ ζ ′ )| Soit x ∈ R 2 et Wx l’ensemble de toutes les trajectoires arrêtées avec élément initial w(0) = x. Le serpent brownien avec point initial x est le processus de Markov W = (Ws,s ≥ 0) dans Wx dont la loi est caractérisée comme suit : 1. Si ζs signifie le temps de vie de Ws, le processus (ζs,s ≥ 0) est un mouvement brownien réfléchi dans R+ (un temps de vie ne peut pas être négatif). 2. Conditionné par (ζs,s ≥ 0), le processus W reste un processus de Markov non homogène. Ses noyaux de transition conditionnels sont décrits par les propriétés suivantes : Pour s < s′ , (a) Ws ′(t) = Ws(t), pour tout t ≤ m(s,s′ ) := inf r∈[s,s′ ] ζr ; (b) (Ws ′(m(s,s′ ) + t) − Ws ′(m(s,s′ )), 0 ≤ t ≤ ζs ′ − m(s,s′ )) est un mouvement brownien standard dans R 2 indépendant de Ws. 1. Le serpent brownien 4 De manière informelle, quand ζs décroît, la trajectoire Ws est raccourcie à partir de son point terminal(le point de départ ne change jamais) et quand ζs croît, la trajectoire Ws est allongée en lui ajoutant au niveau de son point terminal des « petits bouts » de trajectoires suivant la loi de ζ. 1.3 Définitions de quelques mesures usuelles Maintenant, nous allons définir les outils importants dans notre étude à savoir : la mesure d’excursion que nous utilisons lors du déplacement du serpent brownien dans le domaine D et la mesure de sortie à la frontière, et enfin, la mesure de Radon. 

  Mesure d’excursion 

Soit x la trajectoire triviale dans Wx avec valeur 0. On note par Nx la mesure d’excursion associée. Nx est une mesure infinie caractérisée par les propriétés suivantes[3] : – Le processus de temps de vie (ζs) est distribué sous Nx comme une mesure d’Itô d’excursion positive du mouvement brownien linéaire. – Wo = x Nx p.s. où x est caractérisée par la relation {s,Ws = x} = {s,ζs = 0} , Px p.s Donc, sous Nx, la loi de W est décrite par des propriétés analogues aux 1 et 2 sauf que la loi du mouvement brownien réfléchi dans 1 est remplacée par la mesure d’excursions positives du mouvement brownien linéaire. Notons que Ws = x pour tout s suffisamment grand, Nx p.s. On peut normaliser Nx afin que, pour tout ε ≥ 0, Nx  sup s≥0 ζs > ε = 1 2ε Bien que Nx soit une mesure infinie, nous avons : pour tout δ > 0, Nx  sup s≥0,t≥0 |Ws(t) − x| > δ = cδ−2 < ∞ (1.1) où c est une constante positive. Pour tout s ≥ 0 fixé, conditionné par ζs, Ws est répartie sous Nx comme une trajectoire brownienne plane démarrant en x et s’arrêtant au temps ζs. 

 Mesure de sortie

 Dans la solution probabilistique du problème classique de Dirichlet, les points de sortie du mouvement brownien du domaine D jouent un rôle important. Dans notre cas, nous avons un nombre infini de trajectoires arrêtées, et donc un nombre infini de points de sortie. Nous construisons ainsi une mesure appelée mesure de sortie, sur cet ensemble de points de sortie. Considérons un domaine plan D tel que x ∈ D. Pour toute trajectoire arrêtée w ∈ Wx, posons τ (w) = inf {s ≥ 0 , w(s) ∈/ D} avec la convention usuelle inf∅ = ∞. Le support du serpent brownien dans D est l’ensemble aléatoire RD = {Ws(t ∧ τ (Ws)),s ≥ 0,t ≥ 0} qui représente la réunion des trajectoires Ws arrêtées à leurs temps de sortie respectifs de D. RD est fermé Nx p.s. La mesure de sortie XD de D, définie Nx p.s, est une mesure aléatoire concentrée sur l’ensemble RD ∩∂D des points de sortie des trajectoires Ws. Cette mesure peut être définie par l’approximation suivante : < XD,ϕ >= lim ε↓0 1 ε Z ∞ 0 ϕ(Ws(τ (Ws))).1{τ(Ws)<ζs<τ(Ws)+ε}ds pour toute fonction continue ϕ sur ∂D, Nx p.s. Remarquons qu’on utilise un processus continu pour résoudre ∆u = u 2 et on introduit la notion de mesure ponctuelle car les trajectoires sortent du domaine D en passant point par point sur la frontière. 

 Mesure de Radon

Soit E un espace topologique séparé. On dit qu’une mesure ν sur E est une mesure de Radon si : 1. tout point de E admet un voisinage ouvert V tel que ν(V ) < +∞; 2. pour tout A ∈ B(E), on a : ν(A) = sup K∈K(E),K⊂A ν(K) 1. Le serpent brownien 6 où K(E) est un ensemble de parties de E contenant la partie vide, constitué par les compacts d’un espace séparé. Une mesure non nécessairement positive est dite de Radon si elle est différence de deux mesures de Radon positives. Remarquons que la propriété 1) entraîne que ν(K) < ∞ pour tout compact K. Inversement, sur un espace localement compact, cette propriété entraîne 1). Toute mesure de Radon sur un espace compact est bornée. Soit F un espace localement compact à base dénombrable. Si ν est une mesure finie sur B(F), finie sur les compacts donc σ-finie, la formule I(ϕ) = Z ϕdν où ϕ ∈ CK(F) qui est un ensemble de fonctions continues à support compact définit une forme linéaire positive sur CK(F).