VALIDATION DU MODELE M4 EN STATIQUE

VALIDATION EN STATIQUE DE LA MAILLE M4: CAS D’UNE POUTRE CONSOLE [0/90]

EN FLEXION L’utilisation de poutres permet d’introduire des hypothèses simplificatrices. B est possible dans ce cas d’obtenir des solutions analytiques. Des problèmes de poutre sous différents chargements et conditions aux limites ont pu ainsi être traités analytiquement à l’aide du M4s [T.Naciri & col. (1996), M.H.Philippe (1996)]. D s’agit pour l’essentiel de poutres bicouches ou tricouches. Nous présentons ici l’exemple de la poutre console bicouche. Nous commençons par rechercher la solution analytique du problème. Nous comparons ensuite la solution numérique du M4s donnée par notre code éléments finis à cette solution analytique. II.1.1. Résolution analytique du problème à l’aide du M4s Considérons une poutre constituée d’un bicouche [0/90], les deux couches étant formées du même matériau. Supposons sa largeur faible devant sa longueur (rapport 100).Nous émettons les hypothèses suivantes: (hl): les déformations sont dans le plan (ejsçj); (h2): u¡=0 (déplacement nu! dans le sens de la largeur); (h3): le problème ne dépend que de la composante Xi. Les résultats du calcul numérique viendront confirmer le bien fondé de ces hypothèses. Le comportement en membrane pour la couche i s’écrit (cf. 1.22): Ñ’ =R’:ÍI i=1.2 Le tenseur K’ s’identifie au tenseur des rigidités membranaires classique relatif à la couche i. 

Comparaison entre les résultats analytiques et les résultats numériques du M 4s

Pour le calcul numérique avec le M4s. on considère la structure comme une plaque puisque nous ne rentrons pas les hypothèses (h|), (h;) et (h}). Les données sont les suivantes: 140 um L¿¿!32* « jSÍS!SLr¿LTl fMViâÈàSÉ-^’Î m fc^*îe « ^^^ffiïr: *’! « »’^fesSI ! 1.454* ÎO' »Pa lu EggfiggS3K$–&:t »#£#. 3.054* lO^Pa pf^K=G/ë*K^ 4.186*10i?Pa/m Les résultats obtenus dans le cas général montrent d’abord que les hypothèses (hî), (h2) et (h3) émises ci-haut sont tout à fait justifiées. Les composantes 2 données par les équations (2.12) et (2.13) sont des polynômes de degré 2 en x. La précision de leur calcul est très bonne (puisque les fonctions 39 Validation du modèle M4 en statique d’interpolation sont quadratiques); avec 2 mailles nous retrouvons déjà des points de la courbe analytique (fig.2.1,2.2). fig.2.1- Poutre [0/90] en flexion: Variation de U2 dans la couche 1 en fonction de l’abscisse O.OOEfOO -5.00E-12 — analytique A 10 maules • 4 maiBes a 2 mailles -3.50E-11 abscisse relative fig.2.2- Poutre [0/90] en flexion: Variation de LT 2 dans la couche 2 en fonction de l’abscisse 4.00E-12 analytique A 10 maules • 4 imites D 2 mailles O.OOE+00 0.00 0,20 0,40 0,60 0,80 abscisse relative 1,00 La composante 3, polynôme de degré 3, est calculée avec moins de précision. Cependant avec Î0 mailles nous obtenons moins de 2% d’imprécision (fig.2.3). Cela est sans doute dû en partie au fait que pour le calcul analytique la structure est assimilée à une poutre (pas d’effet Poisson selon la largeur), alors que pour ie calcul numérique elle est calculée comme une plaque.