Variations autour des métriques sur F

Notions sur les tribus

Deux tribus G et G 0 sont équivalentes si elles diff`erent seulement pour des ensembles de mesure nulle. On note cela par G ∼ G 0 ou bien par G ∼P G 0 pour bien marquer la dépendance de cette relation par rapport a` la probabilité P. Si A ∈ F est de mesure nulle alors G ∼ G ∩ Ac . Définition III.2. Une sous-tribu B de F est dite compl`ete si elle contient toutes les parties F-mesurables de Ω qui sont de mesure nulle. Définition III.3. On note F ∗∗ l’ensemble des sous-tribus de F et F ∗ l’espace des classes d’équivalence des éléments de F ∗∗ pour la relation ∼. On utilisera la mˆeme notation pour désigner un élément de F ∗ ou son représentant dans F ∗∗ .

Proposition III.4

∀B1, B2 ∈ F ∗∗ , (E(f | B1) = E(f | B2) P − p.s. ∀f ∈ L 1 R (Ω)) ⇔ B1 ∼ B2. Définition III.5. Soit F une famille de sous-ensembles de Ω . La sous-tribu engendrée par F est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) sur Ω contenant F, elle sera notée σ(F). Définition III.6. Soit f : (Ω, F) → (X, S) une variable aléatoire, alors σ(f) def = f −1 (S). Définition III.7. Soient A et B deux sous-ensembles de Ω ; la différence symétrique de A et B est l’ensemble noté A∆B et défini de la fa¸con suivante : A∆B def = (A ∩ B c ) ∪ (B ∩ A c ). Définition III.8. Soient F une famille de sous-ensembles de Ω, et F un sous-ensemble de Ω alors : F ∩ F def = {B ∩ F | B ∈ F} . Remarque III.9. Si B est une sous-tribu de F et si F est une partie non vide de Ω alors B ∩ F est une tribu de parties de F appelée trace de B sur F. Définition III.10. Soient G et H deux familles de sous-ensembles de Ω, alors : G ∪ H def = {X | X ∈ G ou X ∈ H} ; de mˆeme : G ∩ H def = {X | X ∈ G et X ∈ H} . Lemme III.11. Soient G, H deux familles de sous-ensembles de Ω et D un sous-ensemble de Ω alors : (G ∪ H) ∩ D = (G ∩ D) ∪ (H ∩ D). III.2 Convergence forte de tribus 29 Définition III.12. Soient G et G0 deux familles de sous-ensembles de Ω. On note G ∨ G0 (borne supérieure de G et G0 ) la tribu définie de la mani`ere suivante : G ∨ G 0 def = σ(G ∪ G 0 ). Définition III.13. Soit A ⊂ Ω, la fonction indicatrice de A est définie de la mani`ere suivante : IA(ω) = ½ 1 si ω ∈ A ; 0 sinon. III.2 Convergence forte de tribus Dans Calcul des probabilités, J. Neveu ([67] p. 117–118) introduit en 1970 la notion de convergence forte d’espérance conditionnelle. Cotter [31] montre en 1985 que la topologie associée a` la convergence forte de tribus est métrisable. Signalons les articles traitant de la discrétisation de filtration [59, 29, 30] en utilisant la notion de convergence forte de tribus. III.2.1 Topologie de convergence forte Nous allons définir ce qu’est la topologie de convergence forte de tribus dans F ∗ . Définition III.14. La topologie la plus grossi`ere (contenant le moins d’ouverts) rendant continue les applications : F ∗ → (L 1 R (Ω), ||·||L1 R (Ω)), B 7→ E(f | B) ; (III.1) pour tout f ∈ L 1 R (Ω), sera dite topologie de convergence forte sur F ∗ . Proposition III.15 ([25, Proposition III.1]). Soit (Bn)n∈N une suite de F ∗ , et B ∈ F ∗ . Alors limn Bn = B si et seulement si pour tout f ∈ L 1 R (Ω) : limn ||E(f | Bn) − E(f | B)||L1 R (Ω) = 0. La topologie de convergence forte est métrisable, c’est ce que nous allons observer en introduisant la distance de Cotter. Définition III.16 (Cotter [31]). Soit f = (fj )j∈N une famille dénombrable de L 1 R (Ω, F), on appelle ρF,f , l’application définie sur F ∗∗ × F ∗∗ par : ρF,f (B, B 0 ) def = X∞ j=1 1 2 j min n ||E(fj | B) − E(fj | B 0 )||L1 R (Ω) , 1 o . Théor`eme III.17 (Cotter [31]). Si f = (fj )j∈N est une famille dénombrable dense d’éléments de L 1 R (Ω, F), alors (F ∗ , ρF,f ) est un espace métrique complet séparable. Deux distances utilisant des familles dénombrables denses différentes d’éléments de L 1 R (Ω, F) sont uniformément équivalentes. 

Propriétés de continuité de l’application

σ Nous étendrons dans cette section un résultat de continuité de Cotter en montrant que l’application σ qui applique a` une variable aléatoire vectorielle f la tribu f −1 (BRm), vérifie une propriété de continuité pour la topologie de la convergence en probabilité, l’espace d’arrivée étant muni de la topologie de convergence forte de tribus. Théor`eme III.27. Soient A et B deux sous-tribus de F telles que A ⊂ B, f = {fi}i∈N une famille dense de fonctions de L 1 R (Ω, F). Alors la famille g = {gi}i∈N avec gi = E(fi | B) est dense dans L 1 R (Ω, B) et nous avons : ρF,f (A, B) = ρB,g(A, B). Preuve : Il est clair que la famille de fonctions {gi}i∈N est une famille dénombrable d’éléments de L 1 R (Ω, B), nous allons montrer qu’elle est dense dans ce mˆeme espace, soit h ∈ L 1 R (Ω, B) alors : ||gi − h||L1 R (Ω) = ||E (fi | B) − E (h | B)||L1 R (Ω) ; = ||E (fi − h | B)||L1 R (Ω) ; ≤ ||fi − h||L1 R (Ω) ; puisque la famille {fi}i∈N est dense dans L 1 R (Ω, F) alors la famille {gi}i∈N est dense dans L 1 R (Ω, B). Par définition de ρF,f nous avons : ρF,f (A, B) = X∞ i=1 1 2 i min n ||E (fi | A) − E (fi | B)||L1 R (Ω) , 1 o . Comme A ⊂ B nous avons E (fi | A) = E (E (fi | B) | A) = E (gi | A), III.2 Convergence forte de tribus 33 on obtient donc : ρF,f (A, B) = X∞ i=1 1 2 i min n ||E (gi | A) − E (gi | B)||L1 R (Ω) , 1 o = ρB,g(A, B). ¤ Nous allons généraliser le résultat suivant [32, théor`eme 2.1] de Cotter. Théor`eme III.28. Soit {hn}n∈N une suite de variables aléatoires à valeurs dans R m, qui converge en probabilité vers h. Alors : σ(h) ⊂ P − lim inf σ(hn). Preuve : Il suffit de montrer que pour tout r > 0, α ∈ R m A def = {ω | ||h(ω) − α|| < r} ∈ P − lim inf σ(hn). Il existe δ > 0 tel que : P({ω | r − δ < ||h(ω) − α|| < r}) < ε 2 . Il existe N tel que si n ≥ N alors : P µ½ω | ||hn(ω) − h(ω)|| < δ 2 ¾¶ > 1 − ε 2 . On définit : W def = ½ ω | ||hn(ω) − h(ω)|| < δ 2 ¾ ; et : B def = ½ ω | ||hn(ω) − α|| ≤ r − δ 2 ¾ . Si ω ∈ W ∩ Bc alors ||h(ω) − α|| > r − δ et si ω ∈ W ∩ B, ||h(ω) − α|| < r, ce qui implique que : P({A∆B}) ≤ P({A ∩ B c ∩ W}) + P({A c ∩ B ∩ W}) + P({Wc }) < ε 2 + 0 + ε 2 . ¤ Corollaire III.29. Soit {hn}n∈N une suite de variables aléatoires à valeurs dans R m qui converge en probabilité vers h. Si σ(h) = F alors la suite {σ(hn)}n∈N converge fortement vers σ(h) par rapport à (Ω, F, P). Preuve : D’apr`es le théor`eme III.28 : σ(h) ⊂ P − lim inf σ(hn) ; par ailleurs nous avons par hypoth`ese que σ(h) = F alors : σ(h) ⊂ P − lim inf σ(hn) ⊂ P − lim sup σ(hn) ⊂ σ(h) ; 34 Variations autour des metriques ´ sur F ∗ III.2 autrement dit d’apr`es le théor`eme III.25 la suite {σ(hn)}n∈N converge fortement vers σ(h). ¤ Le résultat que nous allons énoncer maintenant tient une place privilégiée étant donné son intérˆet pratique pour les applications numériques.