NOTION DE COUCHE LIMITE

Introduction

L’étude des fluides a apporté sa contribution dans l’amélioration de la vie quotidienne.
L’humanité, dans son existence, a été toujours tributaire des fluides, pour sa survie et pour son confort. Des disciplines telles que : la météorologie, l’aérodynamique, l’hydraulique . . . ont été créées par l’évolution de connaissances dans le domaine des applications des écoulements des fluides. Sur le plan plus théorique, la mécanique des fluides se combine à d’autres disciplines comme dans la biomécanique (transport des substances médicamenteuses dans le sang . . . ), la mécanique des structures (applications dans les grandes constructions : pont, barrage, building . . . ), l’aéronautique, l’aéronavale ou l’aérospatial.
La dynamique des fluides est une branche de la mécanique des fluides qui modélise la matière à l’aide des particules assez petites pour relever de l’analyse mathématique mais assez grandes par rapport aux molécules pour être décrites par des fonctions continues. La notion de milieu continu est une hypothèse abstraite dans la modélisation de la matière : si l’on regarde la matière de « très près » (échelle nanoscopique), la matière est granulaire, faite de molécules. A l’œil nu, par contre, un objet solide semble continu, c’est- à-dire que ses propriétés semblent varier progressivement, sans discontinuité. L’hypothèse des milieux continus consiste à considérer des milieux dont les propriétés caractéristiques, comme la densité, la pression, l’élasticité sont continues.
En mécanique des fluides, on étudie les fluides en mouvement. C’est une branche de la mécanique des milieux continus. Les écoulements de type couche limite constituent des cas d’écoulement très utilisés dans les applications. Les écoulements de type couche limite se subdivisent en plusieurs groupes selon les critères retenus. On peut par exemple distinguer les écoulements de type couche limite dynamique isovolume dans lesquels l’aspect thermique est découplé de l’aspect dynamique alors que dans le cas des écoulements de type couche limite thermique ces deux aspects sont liés.

Le couplage fluide parfait-couche limite

Le calcul de l’écoulement se décompose en deux étapes traitant respectivement de la solution « externe » (fluide parfait hors couche limite) et de la solution « interne » (fluide visqueux sous les approximations de couche limite). Ces étapes sont nécessairement couplées car la délimitation entre les deux solutions est inconnue.
Le principe général du calcul couplé peut se résumer comme suit :
1. Résolution du modèle d’Euler pour l’écoulement autour de l’obstacle, en imposant la paroi comme ligne de courant. On détermine ainsi une loi de pression à la paroi.
2. Résolution du modèle de Prandtl pour l’écoulement de couche limite avec la loi de pression précédente et la détermination d’une frontière externe avec la loi de pression précédente.
3. Nouvelle résolution du modèle d’Euler pour l’écoulement à l’extérieur de la frontière précédente et détermination d’une nouvelle loi de pression.

Couche limite thermique

Situation du problème

Nous abandonnerons provisoirement l’hypothèse de fluide incompressible (évolution isovolume) au profit de celle d’un comportement thermodynamique de gaz parfait. Nous supposerons que les propriétés physiques du fluide restent constantes. Les hypothèses de mouvement permanent bidimensionnel plan sont maintenues. Enfin, les forces extérieures de volume se réduiront aux seules forces de gravité. Dans ces conditions, les équations du mouvement s’écrivent :

Hypothèse fondamentale de couche limite thermique

Comme pour les phénomènes dynamiques, le concept de couche limite thermique est fondamentalement lié à l’existence d’une direction privilégiée du transport convectif de chaleur, par rapport à celle du transfert diffusif. L’approximation de couche limite thermique assurant l’équivalence entre convection et diffusion ne peut s’ envisager que pour des situations telles que :

Configurations types de couche limite thermique

Les notions de couche limite dynamique et thermique témoignent d’une même unité phénoménologique, mais ne recouvrent pas une identité de situations. Le modèle précédent de couche limite thermique peut être qualifié de «général» au sens où il retient, à un même niveau d’importance, tous les termes susceptibles d’intervenir, à savoir pour :
– l’équation de la dynamique : les forces d’inertie, de volume, de pression et de viscosité ;
– l’équation de l’énergie : la convection, la puissance des forces de pression, la diffusion et la dissipation mécanique.
En pratique, de nombreuses situations « intermédiaires » existent où certains de ces nombres peuvent être sans effets majeurs. Ces cas correspondent à des «variantes» du modèle général que nous allons expliciter à présent.

CALCULS DES SOLUTIONS PAR LA METHODE DES ITÉRATIONS VARIATIONNELLES

Introduction

La plupart des problèmes scientifiques tels que les problèmes d’écoulement sont des expressions de non linéaire. A part quelques exceptions, ces problèmes n’ont pas de solution  analytique et doivent être résolus à l’aide de méthodes alternatives. Certains d’entre eux sont résolus en utilisant des techniques numériques. Les modèles de couche limite peuvent être considérés comme étant des problèmes d’écoulement présentant des propriétés particulières : elles se réduisent à un système d’équations différentielles ordinaires non linéaires qui sont résolubles par approche numérique mais aussi par calcul analytique.
Nous considérons l’écoulement laminaire bidimensionnel d’un fluide visqueux en convection forcée sur une plaque plane avec une température de paroi uniforme. Le fluide possède des propriétés constantes. Nous nous intéressons à l’utilisation de la Méthode des Itérations Variationnelles pour obtenir une solution de ce problème, nous comparerons ensuite cette solution à celles obtenues en utilisant la méthode de décompositionnelle d’Adomian et les résultats par la résolution numérique.

Modélisation du problème de couche limite

Nous reprendrons dans cette partie la description d’un écoulement de couche limite en convection forcée sur une plaque plane semi infinie. Toutes les propriétés du fluide sont considérées constantes. Les équations de la continuité de Navier-Stokes et de l’énergie sont les suivantes.

Résolution par la méthode décompositionnelle d’Adomian

Nous présentons en premier lieu une technique de résolution basée sur la méthode d’Adomian présentée dans les travaux de : H. Mirgolbabaei ii , A. Barari iii , L.B. Ibsen iii et M.G. Esfahani iv [11]. La deuxième partie de notre travail se focalise sur la présentation et l’application de la Méthode des Itérations Variationnelles.

Principe de la méthode

La méthode décompositionnelle d’Adomian permet de résoudre des problèmes fonctionnels de différents types : équations algébriques, différentielles, intégrales, intégro différentielles… La méthode s’adapte aussi bien aux problèmes linéaires qu’aux problèmes non linéaires. Il suffit qu’on puisse écrire l’équation sous forme :

Conclusion

La méthode décompositionnelle d’Adomian a déjà fait ses preuves dans le cadre de larésolution d’équations fortement non linéaires. Cependant l’utilisation de cette méthode se faisait assez péniblement du fait de la difficulté de l’obtention des polynômes dans les cas où le terme non linéaire dépend de plusieurs variables. En plus, le manque de logiciels informatiques calculant les polynômes d’Adomian (même pour le cas d’une variable) handicape fortement la méthode.

Résolution du système d’équations par la Méthode des Itérations Variationnelles

Les écoulements à flux constant de fluides incompressibles visqueux ont suscité une attention considérable ces dernières années, en raison de son rôle crucial dans de nombreuses applications scientifiques et d’ingénierie. En particulier, le problème de couche limite classique sur une plaque plane statique a suscité un intérêt considérable de nombreux chercheurs depuis l’introduction de Blasius (1908). Depuis lors, le problème a été analysé par divers auteurs : Falkner et Skan (1931), Asaithambi (2005), Zhang et Chen (2009), Ganji et Al (2009) et encore d’autres, afin d’obtenir les solutions de l’équation de Blasius. Nous avons à résoudre le problème (2.32) en utilisant la Méthode des Itérations Variationnelles ou MIV. Le MIV qui est basé sur l’utilisation de variations et de fonctionnelle corrective restreinte, a trouvé de nombreuses applications pour la solution des Équations Différentielles Ordinaires linéaires (EDO-linéaires) et des Équations aux Dérivées Partielles non linéaires (EDP-non linéaires)[12, 1, 5]. Le MIV a été utilisé pour résoudre l’équation Swada-KotEra du 7 me ordre (Hosein et Al, 2008), l’équation couplée de Burger (Abdou & Soliman, 2005), les équations linéaires et non-linéaires de Klien Gordon (Hussain et Khan, 2010) et plusieurs autres problèmes linéaires et non-linéaires.

Couche limite isovolume

Dans la suite de notre travail, nous considérons que la continuité cinématique du fluide et le nombre de Reynolds de l’écoulement sont tels que le régime observé est un écoulement laminaire.
Le fluide visqueux s’écoule le long d’une paroi supposée fixe, les vitesses sur la paroi sont nulles alors qu’à l’infini (c’est-à-dire loin de l’obstacle) elles sont égales à la vitesse de l’écoulement non perturbé. Sur une normale à la paroi, la vitesse doit varier entre 0 et un maximum. Cette variation suit une loi de variation dépendante de la viscosité du fluide qui induit un frottement entre les couches de fluide voisines : la couche la plus lente tend à freiner la couche la plus rapide, qui en retour, tend à l’accélérer. Dans ces conditions, une forte viscosité tend à égaliser au maximum les vitesses.
Dans le cas contraire, si le fluide est peu visqueux, les différentes couches sont beaucoup plus indépendantes entre elles : la vitesse à l’infini se maintient jusqu’à une courte distance de l’obstacle et il y a une variation plus forte des vitesses dans la petite épaisseur de la couche limite.
Dans le premier cas, il faut utiliser les équations générales du fluide visqueux : le modèle de Navier -Stokes.
Dans le second, on peut utiliser dans la couche limite des équations simplifiées complétées parfois par des résultats expérimentaux. Les équations également plus simples du fluide parfait, appliquées au-delà de la paroi « engraissée » par la couche limite fournissent les conditions aux limites pour le calcul.
En fait, ce n’est pas la viscosité elle-même qui intervient. C’est un nombre sans dimension qui caractérise l’écoulement : le nombre de Reynolds. Celui-ci décrit le rapport des forces appelée forces d’inertie liées à la vitesse aux forces de frottement. Ainsi, au lieu, par exemple d’augmenter la viscosité, on peut obtenir un phénomène semblable en diminuant la vitesse ou les dimensions de l’obstacle.

Conclusion

La Méthode des Itérations Variationnelles a été appliquée avec succès à la résolution du problème de transfert de chaleur en convection forcée avec des conditions aux limites spécifiées. Les solutions obtenues sont comparées avec ceux de la méthode décompositionnelle d’Adomian et ceux de la méthode numérique. L’excellent accord des solutions par MIV et des solutions obtenues au travers les autres méthodes montre sa fiabilité et son efficacité.
L’itération est arrêtée à l’ordre 7 et pour cet ordre on obtient déjà des expressions polynomiales avec un degré supérieur à 350. Cette méthode fournit des solutions analytiques complexes, mais très précises. En conclusion, la Méthode des Itérations Variationnelles est un outil alternatif efficace pour la résolution des problèmes couches limites et plus généralement pour la plupart des problèmes linéaires et non linéaires.

Table des matières

1 NOTION DE COUCHE LIMITE 
1.1 Introduction
1.1.1 Écoulement des fluides
1.1.2 Nombre de Reynolds et régimes d’écoulement
1.2 Couche limite isovolume
1.2.1 Notion d’écoulement à grand nombre de Reynolds
1.2.2 Localisation des effets visqueux en écoulement incompressible à grand nombre de Reynolds
1.2.3 Équations intégrales et bilans globaux en évolution isovolume
1.3 Couche limite thermique
1.3.1 Situation du problème
1.3.2 Hypothèse fondamentale de couche limite thermique
1.3.3 Analyse adimensionnelle : Équations générales de couche limite thermique
1.3.4 Configurations types de couche limite thermique
1.3.5 Convection naturelle en couche limite thermique
1.3.6 Couche limite de convection forcée en fluide incompressible
1.4 Conclusion
2 CALCULS DES SOLUTIONS PAR LA METHODE DES ITÉRATIONS VARIATIONNELLES 
2.1 Introduction
2.2 Modélisation du problème de couche limite
2.2.1 Équations de couche limite dynamique
2.2.2 Équation de la couche limite thermique
2.2.3 Conclusion
2.3 Résolution par la méthode décompositionnelle d’Adomian
2.3.1 Principe de la méthode
2.3.2 Polynômes d’Adomian
2.3.3 Résolution du système d’équations
2.3.4 Conclusion
2.4 Résolution du système d’équations par la Méthode des Itérations Variationnelles
2.4.1 Méthode des Itérations Variationnelles
2.4.2 Résolution du système d’équations
2.5 Résultats et comparaisons
2.6 Conclusion
A Programmation sous Maple i
A.1 Calcul des conditions initiales
A.2 Calcul des expressions de f n (x) pour n = 1 à 7 pour P r = 1
A.3 Calcul de l’expression de f 0 (x)
A.4 Calcul des expressions de z n (x) pour n = 1 à 7 avec P r = 1
B Adimensionnalisation v
B.1 Couche limite isovolume
B.2 Modèle de Prandtl