Analyse des paramètres du modèle GR3

Le but d’une méthode d’optimisation est de trouver une série de paramètres du modèle qui optimise (soit minimise soit maximise) la fonction objectif, F. Une optimisation est réalisée par une recherche du maximum (ou minimum) présenté par la surface de réponse des paramètre, c’est-à-dire la fonction objectif F. Cette recherche est une suite d’itérations dans lesquelles la fonction objectif est évaluée numériquement sur une combinaison des valeurs des paramètres à optimiser. Chaque combinaison de valeurs des paramètres représente un « point » dans la surface de réponse des paramètres du modèle. Une interprétation visuelle de la surface de réponse de paramètres du modèle peut mettre en évidence les difficultés que peut rencontrer une méthode d’optimisation. Cet examen fournit des informations importantes pour augmenter l’efficacité d’une méthode d’optimisation.  Avec un modèle à plus de deux paramètres, il n’est pas possible de produire un seul diagramme qui présente la surface de réponse complète. Dans ce cas, on peut considérer une section de la surface de réponse en faisant varier deux par deux les paramètres. En ce qui concerne le modèle GR3 possédant trois paramètres (A, B et C), on a étudié donc trois surfaces de réponse correspondant à AB, BC et CA, respectivement.

Cette étude a été effectuée sur un seul épisode de crue. Un épisode de crue assez représentatif, de taille moyenne et à pointes multiples, a été choisi dans le bassin versant de l’Orgeval. Cet épisode de crue est illustré dans la figure 4-1. On a rajouté 1000 pas de temps avant cet épisode pour diminuer l’influence de l’initialisation de l’état initial du modèle, S0- La fonction objectif, F, sous Les domaines de variation de chaque paramètre ont été décidés a priori: InA varie de 2 à 12 par intervalle de 0.25, lnB varie de 2 à 7 avec le même intervalle et C varie de 1 à 21 par intervalle de 1. Pour chaque composition de deux paramètres, le troisième et l’état initial, S0, seront optimisés au cours du calcul de la surface de réponse. Les figures 4-2, 4-3 et 4-4 montrent les résultats.  Optimum secondaire: Dans les figures 4-2(b) et 4-4(b), on constate l’existence des optima secondaires. La méthode d’optimisation n’arrivera pas à l’optimum global, si elle part d’un point proche d’un optimum secondaire. La méthode d’optimisation utilisée dans le modèle GR3 (cf. §3.3) ne possède pas de dispositif pour évoluer d’un « pic » donné à un « pic » plus haut. « Crête »: Les figures 4-2(a) et 4-4(a) montrent respectivement des « crêtes » allongées en direction de A. En présence d’une « crête » orientée selon l’axe d’un paramètre, la méthode d’optimisation a tendance à converger prématurément. Dès que l’on arrive à cette « crête », le gain supplémentaire de la fonction objectif sera très limité et l’optimisation s’arrêtera loin de l’optimum.

On constate que les problèmes indiqués précédemment se produisent dans des zones particulières de la surface de réponse où A est assez grand et B et C sont soit petits soit grands. Si on optimise les paramètres en partant d’un point arbitraire de la surface de réponse, il est possible que l’on rencontre les problèmes évoqués précédemment. Cela nous conduit à prendre en compte l’importance du point de départ de l’optimisation. On suggère donc pour l’optimisation de prendre des valeurs initiales assez petites pour A sans quoi l’optimisation n’arrivera pas sur les « crêtes » et de prendre des valeurs moyennes pour B et C. Il est intéressant de trouver une coïncidence avec la suggestion d’Edijatno et de Michel (1989a) pour les valeurs initiales de l’optimisation. Dans leur cas, ils ont suggéré d’utiliser les valeurs initiales: lnA0=5, lnB0=4 et C0=2. On a trouvé que ces trois valeurs se situent justement aux bons niveaux pour arriver au sommet selon les trois surfaces de réponse. On reconnaît qu’une contrainte est sans doute nécessaire pour la variation des paramètres surtout pour une tâche nécessitant une forte variation des paramètres comme l’ajustement des paramètres en temps réel.