Application de la méthode de la Constante d’Écran par Unité de la Charge Nucléaire au calcul des énergies des états doublement excité

 Méthode des perturbations

La solution exacte de l’équation de Schrödinger n’est pas possible pour les systèmes atomiques à plus de deux électrons si on tient compte des phénomènes de corrélations. Une grande importance s’attache donc à des méthodes approximatives de la solution et, parmi ces méthodes la théorie des perturbations, qui est également largement utilisée en mécanique classique, qui occupe une place très importante. La technique peut être appliquée lorsque l’Hamiltonien peut s’écrire comme une somme de deux parties, une partie simple qui si elle est présente à elle seule génère une solution de l’équation de Schrödinger, et une seconde partie constituée d’une ou plusieurs conditions supplémentaires relativement faible. Le comportement approximatif du système peut alors être obtenue en considérant la première Mémoire de 3ième cycle de Physique atomique et nucléaire présenté par Mr Maurice FAYE 23/03/2011 à 23h50 Page 12 partie comme donnant le comportement dominant et traiter le comportement réel comme une déviation relativement mineur, ou la perturbation, à partir de ce comportement calculable. Cette méthode introduite par D. Ray et P.K. Mukherjï [44] pour le calcul des énergies des états excités )( 2 nl de l’hélium et des ions héliumoïdes Li+ , Be2+ et B3+, permet de calculer les fonctions propres et les valeurs propres approchées d’un hamiltonien Hˆ quelconque mais voisin d’un hamiltonien H0 dont on connaît les fonctions propres et les valeurs propres.  Position du problème Dans le cadre de la mécanique quantique, le recours à la théorie des perturbations est semblable au problème des trois corps céleste. Deux planètes par exemple subissent non seulement l’attraction gravitationnelle du soleil, lais aussi, interagissent entre elles. La prise en compte de l’interaction planète-planète dans la résolution du problème de trois corps, se heurte dés lors à des difficultés mathématiques insurmontables. Néanmoins, on a su en mécanique classique mettre en œuvre des méthodes approximatives de calcul permettant de trouver avec une bonne précision, la solution du problème de trois corps par approximations successives. De telles méthodes sont connues sous le nom de Théories des perturbations. La théorie des perturbations s’appuie sur le fait incontestable que l’interaction entre les électrons est négligée devant celle exercée par le noyau sur chacun d’eux. Lorsque l’on ignore l’interaction électron-électron, on obtient ce qu’on appelle l’approximation d’ordre zéro. L’état de chaque électron est alors dit état non perturbé et l’énergie d’interaction noyauélectron énergie non perturbée obtenue à l’aide de la théorie de Bohr ou en résolvant l’équation de Schrödinger. En tenant compte de l’interaction mutuelle entre les électrons les états et énergies correspondant deviennent perturbés. La résolution exacte de l’équation de Schrödinger est alors impossible même dans le cas des systèmes atomiques à plus de deux électrons. Pour le calcul approché des états et énergies perturbés, on fait recours à la méthode des perturbations. Cependant, on notera que dans les systèmes atomiques par exemples, l’énergie d’interaction électron-électron n’est pas petite devant l’énergie d’interaction de chaque électron avec le noyau. Ce qui alors complique la recherche des états et valeurs propres de l’hamiltonien d’un système atomique. En mécanique quantique, la méthode des perturbations est applicable à un système d’Hamiltonien de la forme H H W = +0 (1.1) Mémoire de 3ième cycle de Physique atomique et nucléaire présenté par Mr Maurice FAYE 23/03/2011 à 23h50 Page 13 Dans cette équation les états propres 0 Φ n et énergies propres 0 E n de l’Hamiltonien non perturbé H 0 sont connus. L’opérateur W petit devant H 0 est appelé la perturbation ou encore le couplage. L’Hamiltonien H 0 étant indépendant du temps, l’Hamiltonien de perturbation W peut être indépendant du temps (dans ce cas la perturbation est dite stationnaire) ou peut dépendre du temps (dans le cas des perturbations dépendant du temps). Concernant les perturbations stationnaires, pour exprimer le fait que W est petit devant H 0 , on l’écrit alors sous la forme W W = λ ˆ (1.2) Où λ est paramètre petit sans dimension (λ≪1) et Wˆ un opérateur dont les éléments de matrices sont comparables à ceux de H 0 . Tenant compte de (1.2), l’Hamiltonien perturbé H (1.1) s’écrit alors : 0 H H W = +λ ˆ (1.3) L’effet de l’Hamiltonien est alors de « perturber légèrement » les valeurs propres 0 E n de H 0 . C’est ce qui se produit par exemple lorsque l’on soumet un atome à un champ de forces extérieures (électrique ou magnétique) ou lorsque l’on tient compte des effets internes à l’atome tel que : la dépendance de la masse de l’électron avec la vitesse, l’interaction spinorbite, l’interaction hyperfine, etc. Dans son application, la théorie des perturbations consiste à développer les états et énergies propres de l’Hamiltonien perturbé (1.3) en puissance du paramètre λ et à ne garder dans ces développements qu’un nombre fini de terme (généralement un ou deux). Voyons de plus prés le problème de la résolution approchée de l’équation de Schrödinger à l’Hamiltonien perturbé (1.3).

Méthode de la rotation complexe

La méthode de la rotation complexe ou méthode de dilatation est une méthode théorique très utilisée en physique atomique pour la détermination des paramètres des résonances autoionisantes dans les systèmes atomiques à plus de deux électrons. Le principe de cette méthode repose sur le théorème de Balslev et Combes [47] concernant l’étude des systèmes régis par des interactions coulombiennes. Ce théorème décrit le comportement de l’Hamiltonien du système lors de l’extension de l’espace réel à l’espace complexe. Dans cette méthode le changement de la variable radiale r en variable complexe iθ re ou θ est un réel positif désignant l’angle de rotation, transforme l’Hamiltonien réel )( ˆ rH en Hamiltonien complexe ),( ˆ rH θ . L’Hamiltonien complexe ),( ˆ rH θ comprend en plus des états résonants, un spectre continu formé d’une série de raies dans le plan complexe commençant aux seuils d’ionisation de l’ion résiduel du système atomique étudié, mais aussi des états discrets liés qui restent invariant dans la rotation. L’Hamiltonien réel )( ˆ rH qui s’écrivait sous la forme : VTrH ˆˆ )( ˆ += (1.68) Par cette transformation, l’Hamiltonien complexe ),( ˆ rH θ s’écrit dans le cas du système à interaction coulombienne sous la forme : θ θ θ i i eVeTrH − − += ˆˆ ),( ˆ 2 (1.69) Où Tˆ est l’opérateur de l’énergie cinétique et Vˆ celui de l’énergie potentielle. Mémoire de 3ième cycle de Physique atomique et nucléaire présenté par Mr Maurice FAYE 23/03/2011 à 23h50 Page 27 Les paramètres de résonance, à savoir la position et la largeur de résonance sont obtenus par la résolution de l’équation aux valeurs propres complexes formulée ci-dessous : ),( ),( ˆ ),( 21 ‘ 21 rrWrHrr µ µ Ψ θ Ψ− (1.70) Où i r (i = 1 ; 2) caractérise l’état des particules du système et ),( 21 Ψ rr est une fonction d’onde d’essai. Dans la relation (1.3), W représente la valeur propre complexe. 2 r r iG EW −= (1.71) Dans cette relation (1.4), la partie réelle Er donne l’énergie et la partie imaginaire donne la largeur de la résonance. La fonction d’onde d’essai ),( 21 Ψ rr dans l’équation (1.48) est une fonction de carrée intégrable de type Hylleraas [46]: ∑ [ ( ) ] +− + + =Ψ −+ nmk L S Lmk L rr Lmkn nmk YYrrreCrr YYrr ,, )2( 00 )1( 012 )2( 0 )1( 002112 )( 21 ),( ,, 1 α 21 (1.72) Avec k + m + n < Ω (Ω est un entier positif) ; L étant le moment angulaire total, α le paramètre non linéaire et S le spin total du système atomique. Pour les termes L = 0, k ≥ m Pour décrire l’état quasi-stationnaire, le choix d’une telle fonction pose un problème, car la fonction d’onde a la forme asymptotique suivante: ikr )( →Ψ rer , quand r → ∞ (1.73) Par le changement de variable r → iθ re , on peut mettre cette forme asymptotique sous la forme d’une fonction de carré intégrable. A la résonance d’énergie Er et de moment k, on a : iβ = ekk et )arg( 2 1 β = W La forme asymptotique devient pour cette valeur complexe de k Mémoire de 3ième cycle de Physique atomique et nucléaire présenté par Mr Maurice FAYE 23/03/2011 à 23h50 Page 28 )sin()cos( )( )( βθ βθ βθ ψ −− − → = − reki rki rk er e i (1.74) Pour 0 < (θ – β) < π/2, Ѱ(r) décroît exponentiellement et se comporte donc comme une fonction de carré intégrable. Les caractéristiques de la résonance peuvent alors être obtenues à l’aide de ces fonctions. La présence du terme oscillant nécessite l’utilisation d’une base suffisamment large de carré intégrable pour la fonction d’essai. La précision des résultats dépend donc de la taille de la base choisie. La détermination numérique de la position et la largeur de la résonance dépend des trajectoires de rotation des vecteurs propres complexes qui doivent satisfaire aux conditions suivantes : = 0 ∂ ∂ α W (1.75.a) = 0 ∂ ∂ θ W (1.75.b) = 0 Ω∂ ∂ W (1.75.c) La méthode de rotation complexe a été utilisée en physique atomique par Doolen [48] pour déterminer les paramètres de la résonance dans le système e- + H à partir du comportement de la trajectoire de la rotation des valeurs propres. Pour cela trois étapes sont nécessaires : 1. On applique la méthode de stabilisation [49] à l’Hamiltonien réel pour la recherche de valeurs propres réelles qui sont stables par rapport à la variation du paramètre non linéaire a. 2. On applique la méthode de la rotation complexe (θ ≠ 0) aux fonctions d’ondes qui sont restées stables par rapport à a. Dans cette zone de stabilisation les trajectoires de rotation, pour différentes valeurs de a se croisent en un point du plan complexe déterminant ainsi la position et la largeur de la résonance. 3. Les deux premières étapes sont répétées avec des bases de différentes dimensions pour l’étude de la convergence des résultats. L’introduction de la méthode de la rotation complexe en physique a permis d’obtenir des résultats complets sur les énergies et largeurs totales des résonances autoionisantes dans les systèmes atomiques à deux électrons