Approche macroscopique

Nous proposons de développer les développer les grandes lignes de la théorie de Biot qui a l’avantage de fournir une description générale et rigoureuse de la propagation des ondes dans les milieux poreux pour un squelette élastique. Nous présenterons une description du milieu poreux et nous donnerons une définition des paramètres utilisés couramment pour caractériser physiquement les matériaux poreux. Nous exposerons par la suite les hypothèses que suppose la théorie de Biot ainsi que les équations de propagation. Nous mettrons en évidence l’existence de deux ondes de compression (une lente, l’autre rapide) ainsi qu’une onde de cisaillement. Nous verrons par la suite dans quelle mesure les modèles à une onde (qui se propage dans le fluide) sont valables. Nous motiverons ainsi une modélisation acoustique des enrobés drainants par une approche microstructurelîe où le squelette est supposé rigide et cela sera le principal résultat recherché. Nous n’insisterons pas sur l’établissement des lois de comportement de ma­ nière à introduire assez rapidement les équations de propagation. Le lecteur pourra se reporter aux références qui seront indiquées par la suite pour plus de détails. Un milieu poreux saturé est constitué de deux phases. La première est l’es­ pace poreux connecté saturé par un fluide et qui peut être le lieu de filtrations. Cet espace poreux connecté est supposé connexe. La seconde est la matrice qui se trouve définie comme l’espace complémentaire de l’espace poreux connecté. La matrice est composée de solides et éventuellement de pores. Toutefois, ceux-ci ne sont pas reliés à la porosité connectée et ne sont donc pas le lieu de filtrations. Cette porosité dite occluse est supposée négligeable et nous considérerons qu’elle fait partie de la matrice.

Paramètres macroscopiques caractérisant le milieu poreux

La littérature met en évidence l’existence de trois paramètres (porosité, tor- tuosité et résistance au passage de l’air) suceptibles de caractériser le milieu poreux. Ceux-ci nous seront utiles également lorsque nous aborderons l’approche microscopique. Aussi, nous proposons de les développer en précisant leurs si­ gnifications physiques et en présentant quelques techniques de mesures. Nous considérons que les pores sont saturés par de l’air et nous préférons présenter la perméabilité relative à travers la résistance au passage de l’air qui est souvent utilisée pour modéliser les propriétés acoustiques de milieux poreux. La porosité notée Q, est par définition le rapport du volume des vides au volume total de l’éprouvette. Cette grandeur peut être mesurée [Beranek, 1942] à l’aide d’une procédure qui repose sur les propriétés d’un gaz parfait à température constante. Ce système consiste à insérer l’éprouvette de volume total Vt (ayant pour composante Va pour la partie fluide et Vs pour la matrice) dans un container de volume Vt + V0 (figure 1.2 ). Le volume résiduel V0 est connu et on modifie mécaniquement le volume de l’ensemble à l’aide d’un piston tout en mesurant la pression résultante. Du rapport de la variation de volume AV par la variation de pression AP, la loi de Boyle nous permet de calculer le volume d’air dans le container, et donc le volume de l’air saturant le matériau poreux. Connaissant le volume total de l’éprouvette, la porosité peut être calculée. Champoux [Champoux et a/., 1991] enrichit cette technique en mesurant les variations de pression à l’aide de transducteurs sensibles aux faibles perturba­ tions, et en contrôlant minutieusement la variation de volume AV. 11 obtient ainsi rapidement une estimation de la porosité avec une erreur inférieure à 1% pour une large gamme de matériaux et de porosités.

Ainsi dans une même section le module de la vitesse est relativement impor­ tant au centre et nul au bord (figure 1.3-b). De façon à prendre en compte expli­ citement le changement d’orientation de pore à section uniforme, Attenborough [Attenborough, 1982] définit la tortuosité comme étant le rapport de la longueur totale du pore par l’épaisseur de l’éprouvette (lorsqu’il s’agit d’un milieu poreux constitué de pores identiques). Ainsi pour un milieu constitué de pores identiques et parallèles inclinés d’un angle 9 par rapport à la normale de la surface, la tor­ tuosité est égale à 1/ cos 0. Pour des geometries plus complexes le concept de tor­ tuosité doit être généralisé. Johnson [Johnson et ai., 1982] [Johnson et al, 1986] [Johnson et ai, 1987] dans le cadre de la théorie de Biot propose une évaluation de cette quantité, et montre qu’il s’agit d’une grandeur purement géométrique indépendante de la densité de fluide et de solide. Utilisant les travaux de Brown [Brown, 1980], il en déduit une procédure expérimentale permettant de mesurer la tortuosité par une technique de conductivité électrique. A ce propos, nous pou­ vons également nous reporter aux travaux de Walsh [Walsh et a/., 1984], Carman [Carman, 1961], Champoux [Champoux et a/., 1991].