Caractérisation d’un réseau résonnant d’ordre zéro

Expression du coefficient de réflexion en d’autres paramètres

Coefficient de réflexion suivant le pas du réseau

Cette étude est en quelque sorte un exercice de style puisqu’il est expérimentalement difficile de faire varier le pas du réseau. Le principe est simple puisque la configuration équivalente du guide d’onde n’est pas modifiée suivant une variation du pas du réseau. En effet, l’indice effectif ne ainsi que l’épaisseur équivalente weq restent constantes. L’angle d’incidence θ0 est donc considéré fixe dans ce cas là, tout comme la longueur d’onde λ0. La condition de synchronisme sera donc obtenue pour un pas de réseau défini Λ0. Nous considèrerons ici que le coefficient de rayonnement α est constant sur la plage de pas de réseau étudiée. En réalité les conditions d’interférences entre l’onde directement diffractée dans le milieu adjacent au réseau et l’onde diffractée en direction de l’autre milieu semi-infini et réfléchie par l’interface opposée du guide d’onde varieront légèrement avec la direction des ordres diffractés ce qui aura pour effet de faire varier α. Cependant, cette variation peut être négligée. Ecrire le coefficient de réflexion en fonction du pas du réseau revient donc tout simplement à remplacer dans l’expression (4.1) du coefficient de réflexion la fréquence spatiale k par l’expression (3.13) obtenue à partir de la formule des réseaux dans le chapitre 3.

Coefficient de réflexion suivant l’angle d’incidence

Cette étude est expérimentalement justifiée puisque certaines applications des réseaux résonnants sont basées sur leurs réponsees angulaires. On étudie la variation du coefficient de réflexion d’un réseau résonnant en fonction de l’angle d’incidence θi. Le principe est le même que précédemment puisque la configuration équivalente du guide d’onde n’est pas modifiée suivant une variation de l’angle d’incidence. En effet, l’indice effectif ne ainsi que l’épaisseur équivalente weq restent les mêmes. Cette fois-ci, le pas du réseau Λ0 est fixe, tout comme la longueur d’onde λ0. La condition de synchronisme sera donc obtenue pour un angle d’incidence défini θ0. Nous considèrerons ici encore que le coefficient de rayonnement α est constant sur la plage angulaire étudiée. En réalité les conditions d’interférences varieront légèrement avec la direction des ordres diffractés ce qui aura pour effet de faire varier α. Ecrire le coefficient de réflexion en fonction de l’angle d’incidence revient tout simplement à remplacer la fréquence spatiale k par l’expression (3.13) dans l’expression (4.1) du coefficient de réflexion.

Coefficient de réflexion suivant la longueur d’onde

Ici encore cette étude est justifiée : grand nombre d’applications à base de réseaux résonnants utilise la réponse spectrale. Dans notre application à la mise en forme temporelle d’impulsions lasers femtosecondes, il est primordial de connaître cette réponse spectrale, notamment la largeur de résonance ∆λ comme nous le verrons dans le chapitre 6. Le problème est ici un peu plus complexe que dans les deux cas précédents. En effet, lorsque la longueur d’onde λ varie, la fréquence spatiale k varie mais l’indice effectif du guide aussi. Il n’est donc pas physiquement juste d’exprimer uniquement le coefficient de réflexion en remplaçant la fréquence spatiale par l’expression (3.13) en terme de longueur d’onde. Pour démontrer le lien entre les paramètres phénoménologiques en terme de fréquence spatiale k et de longueur d’onde λ, l’approche via l’optique guidée est également nécessaire. La largeur de résonance en terme de fréquence spatiale sera la somme de deux contributions : une partie liée à la fréquence spatiale variant avec la longueur d’onde et une partie liée à la variation de la configuration du guide d’onde. L’équation de dispersion d’un guide d’onde plan (2.7) rappelée dans le chapitre 2 est alors employée pour déterminer la largeur spectrale ∆λ. Nous allons calculer la variation de la constante de propagation β en fonction d’une variation élémentaire de longueur d’onde. Ainsi, il existe un lien de proportionnalité entre la largeur de résonance spectrale ∆λ et le coefficient de radiation α. Cependant, ce lien n’est pas suffisant pour donner l’allure de la représentation du coefficient de réflexion suivant une variation de la longueur d’onde dans le plan complexe : des considérations physiques sont alors nécessaires. Tout d’abord, la résonance a lieu pour les mêmes conditions d’excitation que précédemment, c’est à dire pour un angle d’incidence θ0, un pas de réseau Λ0 et une longueur d’onde λ0. Le coefficient de réflexion à la résonance rβ est donc le même que dans les deux études précédentes. De plus, hors résonance, le coefficient de réflexion sera également le même puisque la réflexion de Fresnel varie peu autour de la résonance. Le coefficient de réflexion d’un réseau résonnant suivant une variation de la longueur d’onde est une fonction polaire comme montré dans le chapitre 2. Sa représentation graphique dans le plan complexe est donc un cercle ayant les mêmes propriétés que le cercle r(k). De plus, les représentations r(k) et r(λ) possèdent deux points en commun : la réflexion à la résonance rβ ainsi que la réflexion de Fresnel r0. Ces deux points étant diamétralement opposés, les cercles r(k) et r(λ) sont identiques. Par conséquent ils ont le même centre C et le même rayon R.