Cas du roulement sur surface lisse

Pour résoudre les problèmes de vibration plus classiques, il existe deux familles de méthodes: – les méthodes de superposition modale; ces méthodes sont développées dans le cas où on peut rechercher fa solution par une méthode de séparation des variables f(t, x) = k(t)h(x). Ce n’est pas possible dans notre cas à cause du domaine variable. – les méthodes directes d’intégration temporelle; ces méthodes nécessitent de connaître les conditions initiales en déplacement et en vitesse. Dans notre problème, les conditions initiales ne sont pas connues, on les remplace par une condition de périodicité. La méthode présentée ici s’inspire de celle utilisée par [Bradley94]. Dans son article, l’auteur étudie l’évolution en fonction de la côte z de la pression acoustique dans une section de guide d’onde. Le guide, d’axe z, a une section qui dépend périodiquement de z. L’auteur recherche une solution stationnaire de pulsation u>. La résolution fait intervenir le calcul de la matrice de transfert qui relie la décomposition modale de la pression et de la vitesse à la côte z à cette même décomposition à la côte z -f la période. Puis cette matrice est diagonalisée et la solution est décomposée sur les vecteurs propres. Il y a une analogie entre les deux problèmes si on remplace dans le problème du guide d’onde la propagation suivant z par la propagation suivant i dans notre problème. premier temps: Intégration temporelle des équations du mouvement On se fixe un instant ¿,- quelconque (on verra que l’analyse qu’on fait ne dépend pas du choix de i t). On prend le couple £(i,,Xo), du champ de déplacement de vibration et Po^,^)«^,^ ) du champ d’impulsion relative et on le note sous la forme d’un vecteur d’état à 6 composantes: T^.Xo) . Chaque champ de vecteur d’état qui vérifie les conditions aux ¡imites cinématiques (X(^i?^o) = 0 sur dV0u{t)) constitue une donnée initiale de Cauchy pour les équations du mouvement. Par intégration des équations, on peut calculer de façon unique ie vecteur d’état à l’instant í¿ + Ai . 

Cas du roulement sur surface rugueuse

Dans le paragraphe précédent, on a supposé que le régime de vibrations lors du roulement stationnaire était périodique. On va étendre la méthode au problème de roulement du pneumatique sur une surface rugueuse. A cause de Indentation par la chaussée dont le profil est aléatoire, l’effet de l’excitation £ (t,^) n’est plus périodique. On a deux solutions pour prendre en compte cet élément : 1. déterminer pour une chaussée donnée l’histoire de la réponse quasi statique puis intégrer ¡es équations de la dynamique. 2. considérer que la route a un profil aléatoire et utiliser une modélisation stochastique. Cette idée a déjà été utilisée dans [Waiker81j. Le bruit d’un pneumatique mesuré est analysé par traitement du signal en une composante moyenne et une fluctuation aléatoire. La composante moyenne est une fonction du temps qui a la périodicité de la rotation du pneumatique. La fluctuation est centrée autour de la moyenne. On va essayer d’expliciter l’idée sous-jacente à cette modélisation stochastique. On se place dans le cas du roulement à vitesse constante v, et on suppose que le pneumatique roule depuis un temps infini (très long). Au temps t, le pneumatique se trouve à la position x ~ vt sur la chaussée. Premièrement, on suppose que ie champ de vibration dans le pneumatique à l’instant t est déterminé par : – d’une part le profil d’une chaussée entre une position très éloignée et la position actuelle x. Cette partie du profil de la chaussée est une cause aléatoire LO ; – d’autre part par l’angle a de la roue. Deuxièmement, sur les profils de chaussée, on définit des événements, comme par exemple il y avait un grain qui dépassait de 1 m m de la surface moyenne de la chaussée à 1 m de ¡a position actuelle de la roue Sur ces événements, on définit une probabilité. Troisièmement, si on se donne un angle a pour la rotation actuelle de la roue, et un profil de chaussée fixé u, ia résolution du problème déterministe permet de construire une variable aléatoire T (u?, a, iß) qui est le vecteur déplacement et îe vecteur quantité de mouvement du point XQ. Si le pneumatique est lisse, cette quantité est indépendante de a. Pat contre, le motif de la bande de roulement fait que 58 cette fonction est périodique, au pire de période 2TT, et si le motif est périodique, la période est plus courte. On omet de mentionner la dépendance en u de la variable aléatoire. û Quatrièmement, on définit des événements sur les valeurs prises par la variable aléatoire T (a, x^) et on recherche les probabilités associées. Par exemple, pour XQ donné, on recherche, en fonction de a 0 et b, la probabilité qu’une composante de T (a, XQ) soit comprise entre a et b. Ou alors, on recherche 0 0 la probabilité qu’une composante de T (a,^) ® X (o^-Eo) sos^ comprise entre a et b etc.. Posé comme cela, le problème est encore compliqué. On va se contenter de déterminer certains moments de la loi de probabilité de T (i,-,^). Pour reprendre les notations utilisées par [Wa!ker81], on remplace la dépendance en a en une dépendance en t¿, un instant initia!, choisi entre 0 et N.