Combinatoire des observables de diagrammes

En théorie asymptotique des représentations des groupes symétriques S, on considèredes diagrammes λ distribués aléatoirement suivant diverses mesures de probabilité, la taille du groupe symétrique tendant vers l’infini (cf. les chapitres 3, 8, 9, 10 et 11). Les coordonnées sont donc des variables aléatoires, et on s’intéresse à leur loi limite modulo une éventuelle renormalisation. Mais dans ce contexte, les coordonnées standards ne sont pas for- cément les plus pratiques à manipuler ; ainsi, il est utile d’introduire d’autres coordonnées de diagrammes (cf. [Mac95, §1.1]), ainsi que les fonctions symétriques en ces nouvelles co- ordonnées. Dans [IO02], V. Ivanov et S. Kerov présentent une algèbre d’observables en ces coordonnées construite sur le modèle de l’algèbre des fonctions symétriques Λ. Ce chapitre est consacré à un exposé succinct de leur article, et à la présentation de quatre bases remar- quables : la base des moments en les coordonnées de Frobenius, la base des moments en les coordonnées entrelacées, la base des caractères centraux et la base des cumulants libres ([Bia98, Bia03a]).Toutes ces observables peuvent être évaluées sur toutes les partitions, et plus générale- ment sur toute une classe de fonctions continues qui contient les diagrammes de Young et leurs versions renormalisées. L’espace formé par ces diagrammes continus est un cadre to- pologique agréable pour énoncer les résultats de convergence de théorie asymptotique des représentations. Ainsi, dans la dernière section du chapitre (§2.5), nous expliquerons en détail à quelle topologie sur les diagrammes continus correspond la convergence des observables, ces arguments jouant un rôle crucial dans la preuve des théorèmes limites 3.3, 10.3 et 11.10 (entre autres).

Coordonnées entrelacées et coordonnées de Frobenius

En effet, il suffit de tourner la représentation du diagramme de 45 degrés et de considérer la fonction « bord supérieur », prolongée par la valeur absolue en dehors de son support (voir la figure 2.1 ; on demande aussi que les cases aient pour aire 2). Dans ce qui suit, on note (s) et on identifie le diagramme de Young à la fonction continue associée. Cette interprétation fonctionnelle est très utile pour l’étude asymptotique de mesures de probabilité sur les partitions, en particulier parce qu’elle permet de considérer des diagrammes renorma- lisés, voir la section 2.2. Étant donné un diagramme λ, la fonction s 7→ λ(s) est déterminée parsont les coordonnées entrelacées du dia- gramme. Ces coordonnées permettront d’exprimer relativement simplement les probabilités de transition du processus de Plancherel et du q-processus de Plancherel, voir les paragraphes 3.2 et 7.1.La base des moments entrelacés est particulièrement adaptée à l’étude analytique des dia- grammes de Young, et en particulier, elle permet de généraliser la définition des observables de diagrammes. Ainsi, on appellera diagramme continu toute fonction s 7→ ω(s) positive.

la dérivée s’entendant éventuellement au sens des distributions. On retrouve les moments entrelacés usuels pour des diagrammes de Young de partitions, et ceci permet d’étendre l’en- semble de définition d’une observable de Y à CY . D’autre part, si ω est un diagramme continu et si t est un nombre réel strictement positif, on notef (ω). Le poids est donc la graduation de O adaptée à la renormalisation « isotrope » de diagrammes équilibrés ; dans le chapitre 8, nous verrons que le degré est une graduation adaptée à la renormalisation de certains diagrammes non équilibrés.l’algèbre (complexe) de ce monoïde. La théorie des représenta- tions de cette algèbre sera précisée dans la section 12.1, et l’on verra dans le chapitre 13 que cette construction rentre dans un cadre très général. Pour l’instant, nous aurons seulement besoin de la limite projective Bsont des morphismes d’algèbres, et elles sont compatibles entre elles. De plus, si le degré d’une permutation partielle est défini par deg(σ, S) = card S, alors les applications φla limite projective des algèbres de permutations partielles dans la catégorie des algèbres filtrées ; ses éléments sont les combinaisons linéaires formelles éventuellement infinies de permutations partielles de degrés bornés.