Comportement en conditions de
périodicité 1-D

Détermination de la fonction de Green en conditions de périodicité 1-D

L’introduction de la condition de périodicité 1-D à la cellule cMUT nécessite d’exprimer la fonction de Green traduisant cette même condition. Ainsi, on cherche à déterminer l’expression de la fonction Green traduisant le comportement d’un réseau 1-D périodique de points sources en conditions de bae rigide. Cette fonction est notée par la suite (G1D). Un schéma décrivant la géométrie du problème à modéliser est présenté gure 7.1. Le réseau de points à modéliser est orienté suivant l’axe y du repère. Le pas de périodicité entre deux points sources est nommé dy.

Définition du schéma électroacoustique équivalent

Le schéma électroacoustique décrivant le comportement d’une cellule cMUT dans un réseau 1-D est présenté gure 7.3. Etabli toujours selon la dénition de Foldy [41], sa structure est inchangée par rapport à celle du schéma traduisant le comportement d’une cellule isolée. La diérence, entre les deux répartitions de cellule, réside dans la dénition de l’impédance de rayonnement. En eet, dans le cas où la cellule est en conditions de périodicité 1-D, l’impédance de rayonnement exprime en plus du couplage de la cellule sur elle même, le couplage de l’ensemble des cellules du réseau 1-D périodique. Ainsi, la force de rayonnement associée à cette impédance (Fr 1D) traduit, pour le piston équivalent, l’ensemble des forces exercées sur la membrane (force exercée par la membrane sur elle même + force exercée par les membranes du réseau 1-D). En respectant la dénition de Foldy [41], on dénit l’impédance de rayonnement d’une cellule dans un réseau 1-D périodique (Zr 1D) de la manière suivante : Zr 1D = 2Pr 1D |hu˙i|2 (7.10) avec Pr 1D la puissance acoustique de radiation de la membrane dans le cas où celle-ci est située dans un réseau 1-D périodique. Numériquement, elle s’exprime à partir de la matrice de condition aux frontières traduisant les conditions de périodicité 1-D ([Kf luide 1D]).La réponse en vitesse d’une cellule dans un réseau 1-D est comparée gure 7.4 à celles obtenues pour une cellule isolée et pour une cellule dans un réseau 2-D. La cellule cMUT étudiée est la cellule de référence présentée section 5.4. Le milieu de propagation est toujours de l’eau. Les pas des réseaux périodiques sont identiques et valent 50 µm. De façon prévisible, le cas de la cellule dans un réseau 1-D périodique apparait comme une situation intermédiaire aux deux autres répartitions de cellule. En eet, les couplages entre cellules étant plus faibles que pour le cas du réseau 2-D périodique, il apparait sur la courbe de la réponse en vitesse de la cellule dans un réseau 1-D, que la résonance du mode 1 est moins amortie (référence 1). Les fréquences de résonance des autres modes sont identiques quel que soit l’environnement de la membrane (références 2 et 3). De plus, il est intéressant de noter que la périodicité du réseau 1-D provoque, de façon identique au réseau 2-D, une fréquence de coupure sur la réponse en vitesse de la cellule (référence 4). Le pas du réseau 1-D étant identique à celui du réseau 2-D, les fréquences de coupure sont identiques dans les deux cas. L’impédance électrique étant une grandeur souvent mesurée sur les dispositifs cMUT, nous allons, à partir du schéma équivalent, chercher à établir son expression théorique dans le cas d’une cellule dans un réseau 1-D. Selon le schéma électroacoustique équivalent (gure 7.3), on peut établir les équations suivantes : i = i1 + Φhu˙i (7.12) i1 = jωC0v (7.13) 11

Confrontation théorique

 Les résultats obtenus en utilisant la fonction de Green 1-D périodique sont confrontés ici, sur des répartitions de cellule similaire, à ceux obtenus avec le modèle développé pour une cellule isolée (chapitre 5) et pour une cellule dans un réseau 2-D (chapitre 6). Tous les résultats, présentés dans cette section, sont réalisés dans l’eau avec des cellules identiques à la cellule de référence décrite section 5.4  Le cas de la cellule isolée est approché à partir du modèle d’une cellule dans un réseau 1- D périodique en choisissant un pas inter-cellules grand. La gure 7.6-(a) compare la réponse en vitesse d’une cellule isolée avec celle d’une cellule dans un réseau 1-D périodique dont le pas de périodicité suivant y a été xé à 10 cm. On observe gure 7.6-(a) que les réponses en vitesse de la cellule sont identiques quelle que soit la méthode de calcul. De façon similaire, le comportement d’une cellule dans un réseau 1-D est simulé en choisissant, selon une direction, un pas inter-cellules important (10 cm aussi) dans le modèle d’un réseau 2-D périodique. Les réponses en vitesse des 2 modèles sont comparées gure 7.6-(b). Les pas de périodicité suivant y sont identiques (50 µm). Encore une fois, les réponses en fréquences se superposent parfaitement. On démontre sans ambiguité que le modèle d’une cellule dans un réseau 1-D périodique permet bien d’assurer la continuité des résultats entre le cas de la cellule isolée et le cas de la cellule dans un réseau 2-D périodique. L’implémentation de la fonction de Green 1-D périodique pour le calcul du comportement d’une cellule dans un réseau 1-D est ainsi validée.

Confrontation expérimentale

An de valider expérimentalement la fonction de Green 1-D périodique développée, des dispositifs comportant une seule colonne de cMUTs ont été fabriqués de façon à confronter leur impédance électrique mesurée à celle simulée. Les mesures d’impédance présentées ici ont été réalisées dans l’huile selon le protocole expérimental décrit section 4.2. Quatre dispositifs expérimentaux, possédant chacun des géométries de cellule diérentes, ont été mesurés puis simulés. Les caractéristiques géométriques de chacun de ces dispositifs sont présentées tableau 7.1. Quelle que soit la conguration, le pas inter-cellules (dy) est de 6 µm. Les propriétés mécaniques des matériaux, utilisées pour les simulations, sont présentées section 5.4 (Tableau 5.1). Il est important de préciser qu’expérimentalement, les colonnes sont séparées les unes des autres d’une distance de 400 µm alors que dans les simulations elles sont considérées isolées. La gure 7.7 représente pour chaque géométrie de cellule testée, la partie réelle de l’impédance électrique mesurée et simulée pour les quatres topologies de cMUTs. On constate que, quelle que soit la géométrie de la cellule, et cela même pour le dispositif composé de cellules rectangulaires (dispositif 4), les simulations se superposent parfaitement aux mesures en terme de fréquences de résonance. Les irrégularités observées sur les mesures sont dues à la présence des colonnes de cellules voisines dans le cas expérimental. Malgré l’éloignement de 400 µm, il subsiste des interactions entre les colonnes. Ces résultats valident l’expression de la fonction de Green 1-D périodique et son implémentation numérique. De plus, il est démontré que le comportement d’une colonne de cMUTs, de hauteur nie, est assimilable à un réseau 1-D inni de cellules. En eet, au vu de l’important nombre de cellules présentes dans une colonne (plus d’une centaine), il est possible de négliger les eets de bord acoustiques sans introduire d’erreurs signicatives.