Concepts de base de la M.D.F.

D’après les descriptions phénoménologiques qui ont été rappelées dans la première partie de ce travail, les charges hydrique et thermique couplées engendrent dans le volume du sol, une répartition de pressions internes, désignées par succions. L’effet de ces succions s’apparente à celui de contraintes mécaniques internes qui provoquent des déplacements locaux dans la structure, initiateurs de déformation. Dans cette deuxième partie, nous présentons la démarche du traitement numérique par la Méthode des Différences Finies (M.D.F.) qui permet de déterminer la répartition des succions dans le sol. Les notions de base relatives à la mise en oeuvre de la M.D.F. y seront rapportées en premier lieu, ensuite, nous enchaînerons sur la présentation de la méthode de résolution adoptée pour réaliser les calculs de simulation.Pour mener le traitement numérique du problème qui débouchera sur une analyse par simulation, nous avons opté pour la mise en oeuvre de la M.D.F. [26], [27]. Le principe général de cette méthode repose sur l’idée de base qui est de substituer le problème réel continu à un modèle discret équivalent (à définir). Et dans la substitution, l’opération doit porter sur tous les éléments du problème, à savoir : – le support géométrique référencié dans l’espace de définition du problème – les relations mathématiques qui expriment les lois de description des phénomènes considérés – le nombre de degré de liberté du problème – les conditions aux limites.

Modèle géométrique et conditions d’étude

Nous avons choisi comme support géométrique des processus étudiés, un échantillon de sol qui est représenté par un parallélépipède à base carrée de dimensions (2𝐿, 2𝑙, 𝛿), centré sur l’axe 0z du repère (0x, 0y, 0z) de l’espace 3D (Figure II.1).La face supérieure du modèle reçoit sur un élément de surface 𝑑𝑆 centrée en son milieu, une charge hydrique de densité de flux 𝑞𝑒 jusqu’à saturation du sol. Ensuite, cet apport est relayé par une dissipation par une évaporation, de densité de flux 𝑞𝑠, sur toute la surface. o Les quatre faces latérales et la base du modèle ne sont soumises à aucune condition de charge extérieure. Par contre, les conditions de continuité de la propagation du flux hydrique doivent y être satisfaites. o A l’instant initial, tout point du modèle est caractérisé par une teneur en eau résiduelle 𝜃𝑟 .

Réduction du modèle

Dans la pratique de mise en oeuvre de la Méthode des Différences Finies, il est fréquent de ramener l’étude à un modèle réduit afin d’augmenter la précision de l’approximation sans avoir à gonfler le volume des calculs, qui est lié au nombre de noeuds de définition. La réduction consiste à effectuer des partitions du modèle géométrique initial selon les axes ou les plans de symétrie communs à la forme géométrique et aux conditions physiques, s’il en existe. Modèle réduit de l’échantillon étudié Dans le cas du modèle géométrique que nous avons choisi (Figure II.3a), les plans (0xz) et (0yz) sont des plans de symétrie aussi bien pour la forme géométrique que pour les conditions physiques, par conséquent, on peut travailler sur le modèle réduit présenté dans la figure II.3b.L’adoption du modèle réduit modifie la définition des frontières ainsi que des conditions physiques les caractérisant. Par conséquent, nous avons porté dans la figure II.4, la redéfinition des conditions aux limites après réduction du modèle.Cette étape consiste à quadriller le modèle géométrique, selon un maillage par pas régulier et, suivant les trois directions respectives 0x, 0y et 0z du repère référenciant l’espace de définition. Cette opération permet de définir les « noeuds de description » qui s’identifient aux points d’intersection des lignes du quadrillage et dont le nombre représente le nombre de degré de liberté du système discrétisé.

En se référant aux formulations établies dans la première partie de ce travail, la traduction mathématique du processus de couplage hydro-thermique est décrite à partir d’un système d’équations différentielles. Ce système est composée de l’équation décrivant le transfert hydrique (II.1a) et celle décrivant le transfert thermique (II.1b).La suite des opérations consiste à exprimer les équations générales (II.4) et (II.6) en chaque noeud du modèle géométrique et, l’ensemble des équations ainsi établies représente le système d’équations algébriques à résoudre pour obtenir les solutions approchées du problème. Dans cette opération, il faut distinguer les noeuds de volume et les noeuds de frontière ; pour la première catégorie de noeuds, la transcription des équations générales s’effectue selon une traduction terme à terme. Par contre, pour la deuxième catégorie, il faut tenir compte des relations exprimant les conditions aux limites imposées.