CONVECTION NATURELLE DANS UNE CAVITE RECTANGULAIRE VENTILEE

Modélisation théorique

Description du système étudié La configuration étudiée est schématisée par la figure 2 ci-dessous qui est une coupe réalisée dans un parallélépipède (la figure 1). Il s’agit d’une cavité de forme rectangulaire munie de deux ouvertures. L’ouverture d’admission d’air frais est aménagée sur la paroi verticale adiabatique gauche. L’ouverture d’évacuation est placée sur la paroi droite adiabatique. La paroi horizontale inférieure est soumise à un flux constant de chaleur q et la paroi supérieure est maintenue isotherme à la température ambiante Ta. Aux distances H et L (l L, h H) les paramètres évolutifs (T, ) sont statiques (T=Ta, =cte). 

Hypothèses simplificatrices

Pour étudier la convection naturelle dans cette enceinte nous posons les hypothèses suivantes : • Toutes les propriétés thermiques de l’air sont constantes sauf sa masse volumique dans le terme de pesanteur ce qui est régi par l’hypothèse de Boussinesq • Le modèle géométrique est bidimensionnel et l’écoulement est laminaire • Le travail des forces de viscosité et de pression ainsi que les effets radiatifs sont négligés 

Les équations du modèle

Les champs des températures et des vitesses du fluide peuvent être décrits par les équations de conservation de masse, de mouvement et de l’énergie thermique. Avec les conditions aux limites ils sont déterminés en résolvant les équations combinées de NavierStokes et de l’énergie. Ainsi sous forme vectorielle les équations gouvernant le mouvement sont : 5 L’équation de continuité : (1.1) L’équation du mouvement : (1.2) L’équation de la chaleur : (1.3) où , P et T désignent les champs des vitesses, de pression et de température. , et sont respectivement la masse volumique, la viscosité dynamique et la diffusivité thermique du fluide. En tenant compte de l’hypothèse de Boussinesq nous réécrivons l’équation (1.2) comme suit : (1.4) où , et sont respectivement la masse volumique du fluide, la viscosité cinématique et le coefficient d’expansion thermique à la température ambiante de référence Ta. L’air frais entrant dans la cavité sous l’effet du gradient de la pression entre l’intérieur et l’extérieur se met en mouvement à l’intérieur de l’enceinte essentiellement sous l’effet du gradient de la température. Le gradient de température étant le moteur du mouvement, pour pouvoir réduire le nombre de paramètres en éliminant la pression P nous reformulons l’équation du mouvement en formalisme vorticité-fonction de courant 

Formalisme vorticité et fonction de courant

Le vecteur vorticité est tel que : = (1.5) Ce vecteur décrit donc le mouvement de rotation du fluide autour d’un axe instantané parallèle à l’axe perpendiculaire au plan de la figure 2. Puisque l’écoulement est bidimensionnel et le fluide incompressible nous pouvons définir la fonction de courant par 6 et . (1.6) En appliquant le rotationnel aux deux membres de l’équation (1.4) nous obtenons : + ( ) = g (1.7) Puisque = alors des relations (1.5) et (1. 6) on déduit : , soit (1.8) et + ( ) = g (1.9) Ainsi les équations qui régissent les transferts sont: (1.10) (1.11) ) (1.12) où : – est le terme instationnaire décrivant temporellement le mouvement de rotation du fluide autour de l’axe instantané parallèle à – sont les termes convectifs – est le terme de viscosité en compétition avec les termes convectifs. Le modèle mathématique ainsi obtenu est un système d’équations aux dérivées partielles. Pour tenir compte des particularités spécifiques du problème et obtenir une solution 7 particulière univoque, le modèle est complété par les conditions initiales et aux limites du domaine spatial dans lequel on cherche la solution. 

Conditions initiales et aux limites

Par ces conditions initiales et aux limites, le problème trouve son existence et son unicité. Les équations exprimant ces conditions sont dans notre cas de types Dirichlet et Neuman : • Conditions initiales ∀t < , étant l’instant où est appliqué le flux de chaleur sur la paroi inférieure de la cavité, l’air admis est à l’équilibre thermodynamique c’est-à-dire : T= • Conditions aux limites ∀t : Sur les parois de la cavité : – La condition d’adhérence s’exprime par ce qui entraîne que la fonction de courant est une constante sur chacune des parois. Puisque la fonction de courant est une fonction continue, nous avons donc à écrire : ; ; avec et les dérivées première et seconde par rapport à la normale de la paroi considérée. – Pour et , hormis les ouvertures d’entrée ou de sortie de l’air, l’adiabaticité est traduite par : – Pour y=h 8 T=Ta – Pour y=0 et q= Sur les faces ouvertes nous ne pouvons pas poser des conditions au risque de modifier la nature de l’écoulement. Pour contourner cette difficulté nous fermons le domaine par des parois fictives placées aux distances H et L suffisamment loin de ces ouvertures. Ainsi sachant que sur ces bords fictifs la température et la vitesse sont constantes et qu’au-delà ces quantités ne varient plus suivant les directions normales à ces parois nous pouvons donc écrire les conditions aux limites suivantes : – Pour : =0, 0 et 0, =0 – Pour : =0, , 0 , =0 – Pour y=0 et : , T=Ta , =0 Afin de ressortir les propriétés caractéristiques de l’écoulement et de pouvoir comparer nos résultats aux résultats des autres qui ont eu à traité ce genre de sujet nous adimensionnalisons les équations.

Adimensionnalisation des équations

L’analyse dimensionnelle nous permet de poser , et comme grandeurs de référence respectives du temps, de la vorticité, de la vitesse, de la longueur de référence et de température de référence. En écrivant que : 9 = = = où , , , , et sont les variables sans dimension respectives du temps, de la vorticité, de la température, de la vitesse, de la fonction de courant et de la longueur. Ainsi les équations de la fonction de courant, du mouvement et de la chaleur deviennent respectivement : avec , le nombre de Rayleigh modifié , le nombre de Prandtl et , le nombre de Grashof modifié Dans ce système, il apparait les paramètres de contrôle tels les nombres de Prandtl et le nombre de Rayleigh. Pour un fluide et une température de référence donnée le Prandtl est constant donc en variant le nombre de Rayleigh, nous allons pouvoir suivre le profil de l’écoulement qui est la conséquence directe de la modification de l’équilibre entre les forces d’inertie, de viscosité et de flottabilité ce qui fait que le système est fortement non linéaire. 10 Pour fermer le système précédent nous lui associons les conditions initiales et aux limites adimensionnelles suivantes : • Conditions initiales adimensionnelles = • Conditions aux limites adimensionnelles ∀ : Sur les parois de la cavité : – La condition d’adhérence s’exprime par ; ; avec et les dérivées première et seconde par rapport à la normale de la paroi considérée. – Pour et – Pour =1 =0 – Pour =0 et 1= – Pour : =0, 0 , 0 , =0 et – Pour : =0, , 0, =0 et – Pour =0 et : , =0, =0 et 11 Partie 2 2.1. Modélisation numérique Le coût élevé, en temps de résolution analytique des équations différentielles fortement non linéaires et les difficultés liées à la détermination expérimentale du champ de l’écoulement des fluides ont contribué au développement des méthodes numériques en mécanique des fluides (MFN ou CFD en anglais). Ainsi avec une méthode de discrétisation bien choisie nous permettant d’avoir des équations plus ou moins linéaires et un algorithme de résolution approprié, on peut approximer très rapidement et avec une grande précision les résultats à l’aide des ordinateurs. En mécanique des fluides les méthodes les plus utilisées sont les volumes finis, les éléments finis et les différences finies. Cette dernière méthode constituera notre outil de base dans cette partie non seulement pour son adaptabilité avec la géométrie de notre système mais aussi pour sa facilité de mise en œuvre. Remarque : nous avons volontairement omis, dans tout ce qui suit, les astérisques (*) dans les expressions des grandeurs adimensionnelles pour alléger les écritures. 2.2. Discrétisation du domaine Le domaine [ , ] × [0, ] est discrétisé en imax x jmax nœuds de coordonnées xi et yj (i et j variant respectivement de i0 à imax et de j0 à jmax ) régulièrement espacées de x et y dans les directions x et y. Le temps de parcours de la maille est la suite de terme général , étant entier naturel non nul et le pas de temps constant entre deux instants consécutifs. Nous avons donc le maillage suivant :