Convergence fini-dimensionnelle des sommes partielles

Soit X un champ linéaire fortement dépendant. L’objectif de ce chapitre est d’étudier le comportement asymptotique des lois fini-dimensionnelles de ses sommes partielles La convergence fonctionnelle de ces sommes nécessite l’étude de leur équitension dans l’espace de Skorohod D([0, 1]d) et fera l’objet du chapitre suivant. Nous basons notre étude sur un théorème de convergence de mesures spectrales dé- montré dans le cas d = 1 par Van der Meer (1996) et Lang et Soulier (2000) et que nous généralisons au cadre des champs dans la section 3.1. Le théorème 6 permet l’étude de statistiques linéaires pouvant s’écrire sous forme d’une intégrale stochastique. C’est le cas des sommes partielles (3.0.1) lorsque le champ X s’écritDans la section 3.2, on applique le Théorème 6 pour les dimensions d = 1 et d = 2. Des conditions de dépendance sur le champ X, précisées via le filtre a dans le Théorème 7, nous permettent d’obtenir la limite de Sn. Les résultats se déclinent selon que le filtre est continu en 0 ou non. Dans la première situation, Sn admet un comportement de type centrale limite. Dans la seconde, nous supposons le filtre équivalent en l’origine à une fonction homogène de degré négatif, un cadre typique amenant de la forte dépendance, et nous obtenons un théorème limite non-central dans le sens où la normalisation n’est plus standard. La section 3.3 généralise l’étude précédente à d ≥ 3. Notre approche, basée sur leThéorème 6, ne permet pas d’obtenir la convergence de Sn sans renforcer les hypothèses faites sur a dans la section précédente. Néanmoins, nous retrouvons la distinction prin- cipale selon que le filtre est continu en 0 ou non, impliquant un théorème limite de type central ou non-central respectivement.Dans un cas particulier, nous obtenons comme limite de Sn le drap Brownien frac- tionnaire en dimension d (voir remarque 19).La section 3.4 contient la démonstration du Théorème 6 et la partie 3.5 résume quelques propriétés sur les approximations de l’unité que nous utilisons dans les preuves.

Théorème de convergence de mesures spectrales

Nous énonçons le résultat principal qui nous permettra d’étudier la convergence des sommes partielles d’un champ linéaire. Il établit la convergence de mesures spectrales construites à partir d’un champ aléatoire vérifiant un théorème de type Donsker.Cette interprétation devient possible lorsque ξ est un bruit blanc fort comme spécifié dans le (iv). Dans ce cas, B est le drap brownien et la propriété (iii) correspond à sa représentation harmonisable :Remarque 15. Lorsque d = 1, nous retrouvons les résultats montrés dans Lang et Sou- lier (2000) ; cependant nous en allégeons un peu les hypothèses, car là où ces auteurs supposent le filtre continu à l’origine et borné sur [−π, π], nous ne supposons que laRemarque 16. Le filtrage du bruit ξ par une fonction vérifiant les hypothèses du (i) peut produire un champ faiblement dépendant ; c’est le cas lorsque par exemple a est continu sur [−π, π]d. Mais il peut aussi amener de la forte dépendance lorsque a estsingulière en des points de fréquence non nulle. Dans ce contexte, la dépendance est forte car la fonction de covariance est non sommable mais, comme attendu lorsque les singularités spectrales ne se situent pas à l’origine, le comportement asymptotique des sommes partielles n’est pas modifié par rapport à un cadre de faible dépendance. En dimension d = 1, ce cadre de forte dépendance faisant intervenir des singularités spectrales hors de l’origine est connu sous le nom de longue mémoire saisionnière, voir à ce sujet Ould Haye (2001).

Lorsque le filtre vérifie les hypothèses du (ii) du Théorème 7, le champ résultant est à longue mémoire. Il est à longue mémoire isotrope lorsque le filtre est de la forme a(x, y) = |(x, y)|α. Nous obtenons de la longue mémoire non-isotrope en Remarque 18. Dans (3.2.2), le processus limite n’admet pas une forme explicite dans le cas général. Mais dans le cas particulier où ξ est un bruit blanc fort, il peut s’écrire comme une intégrale stochastique par rapport à la mesure spectrale associée au bruit blanc gaussien (cf la remarque 14).