Théorie de la Décision

Tests d’hypothèses

On étudie dans ce chapitre la conception de mécanismes de décision. La figure suivante illustre les problèmes de teste d’hypothèses, pour le cas de décision entre deux alternatives possibles, désignées par et .

Exemples

Communications numériques

Dans les systèmes de communication numérique, un signal analogique souffre plusieurs transformations avant d’être effectivement envoyé dans le canal de communication. Il est d’abord échantillonné (à une vitesse au moins égale à la fréquence de Nyquist), ,ensuite chaque échantillon est quantifié, ,et finalement codé comme une séquence de symboles choisis dans un alphabet fini (binaire, par exemple) :Le signal original est ainsi transformé dans une série de symboles (binaires dans le cas de l’exemple).
Ce sont ces symboles qui modulent une porteuse (en phase, en amplitude ou en fréquence) pour générer le signal transmis dans le canal de communication. Ainsi, dans le cas où le système de modulation n’a pas de mémoire (absence d’interférence inter-symbolique), le signal émis pendant l’intervalle de temps correspondant à un symbole est complètement déterminé par le symbole transmis. Par exemple, pour les systèmes de modulation d’amplitude et avec des symboles binaires .Le signal reçu à la sortie du canal de communication est, en général, une version bruité et déformée de m(t):
où est l’opérateur de transmission du canal, en général, connu.
Le système de réception doit, en chaque intervalle , faire correspondre au signal reçu, soit un symbole 1, soit un symbole 0. Il doit donc résoudre le problème de décision suivant. Etant donné , décider laquelle des deux hypothèses suivantes est vraie:
En référence à la Figure 3.1, on doit, pour cet exemple, effectuer les correspondances suivantes:
* source: système de codage, qui génère des symboles 0 ou 1;
* mécanisme de transition: le canal, qui déforme le signal et ajoute du bruit au message;
* mécanisme de décision: Application qui fait correspondre à chaque signal observé un des deux symboles:

Détection de cibles en radar

Les systèmes de radar utilisent une antenne pour détecter des cibles dans l’espace (en général 3D) autour de l’antenne. Pour chaque cible, on désire savoir sa position, sa direction et sa vitesse. On considère ici le cas simple où on ne détermine pas la vitesse de la cible. L’antenne du radar peut être dirigée de façon à émettre, à chaque instant, une impulsion seulement dans un cône angulaire étroit autour de la direction . S’il existe une cible dans cette direction, le signal émis est réfléchi et reçu avec un temps de retard qui est proportionnel à la distance d entre l’antenne et la cible:
où dépend de l’attitude de la cible, des ses propriétés de réflexion, de la distance, etc., et c est la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques. Pour détecter la cible, le système doit donc résoudre un problème de décision entre les deux hypothèses suivantes:
où la première hypothèse correspond à l’absence de cible dans la direction , et la deuxième à la présence d’une cible à une distance qui est déterminée par .
Nota: l’hypothèse de ce test binaire dépend des deux paramètres et qui ne sont pas connus. Ce type de problèmes de décision, bien plus difficile à résoudre, en général, que les problèmes de décision simple (comme le cas de l’exemple précédant), est connu sous le nom de tests d’hypothèses composées.

Reconnaissance de mots

La reconnaissance de mots parmi un dictionnaire est encore un problème de décision: étant donné un segment d’un signal de parole, qu’on admet correspondre à un mot unique, on doit décider de quel mot il s’agit. Ce problème très complexe peut être formalisé comme un problème de décision, avec autant d’hypothèses que de mots. Dans ce cas encore, chaque hypothèse (mot) est composée, puisque le signal de parole qui correspond à un mot donné varie avec la personne qui le prononce (homme/femme, région, âge, …).
Dans tous les exemples présentés, le système de décision est défini par une application de l’espace des observations dans l’ensemble des hypothèses possibles. On désigne cette application par règle de décision. Elle détermine, dans l’espace des observations, une partition en sous-ensembles disjoints, chaque sous-ensemble correspondant aux observations qui sont associées à une même hypothèse. Règle de décision partition de l’espace d’observations en régions associées aux différentes hypothèses :Comme on doit associer une hypothèse à chaque observation possible ,Et, comme les hypothèses sont alternatives, c’est-à-dire, l’occurrence simultanée de deux hypothèses différentes est impossible, les sous-ensembles sont disjoints: La règle de décision est facilement décrite en fonction des régions :où représente les observations (qui peuvent être scalaires, vectorielles, où les échantillons d’un signal pris dans un intervalle de temps).