DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES TEMPERATURES DANS UN TUNNEL OUVERT A TRACES SINUSOÏDALES

Introduction

Dans le souci d’améliorer la performance des réseaux de transports et de protection de l’environnement, on observe ces dernières années de nombreuses études concernant l’écoulement de l’air dans un tunnel. Cependant, on remarque que la plupart des recherches effectuées dans ce domaine sont orientées sur la simulation d’incendies ou la ventilation dans les tunnels. En d’autres termes, la sécurité avec l’utilisation de l’écoulement de l’air dans un tunnel a fait l’objet de très nombreux travaux aussi bien sur le plan expérimental, théorique que numérique. L’étude des phénoménologies de l’air dans les tunnels a pris de l’ampleur à la suite des catastrophes, comme celles du Mont Blanc (39 morts le 24 mars 1999), des incendies des tunnels des Tauen (11 morts) et du Saint-Gothard (12 morts) qui l’ont suivie, pour les tunnels routiers. Même les autres modes de transport souterrain ont connu des catastrophes plus terribles encore, comme l’incendie de funiculaire dans la station de Ski autrichienne de Kaprun (155 morts le 1 novembre 2000) et le sinistre criminel du métro de Daegu en Corée du Sud (198 morts en février 2003). Pour ces raisons, la recherche s’est orientée vers les simulations numériques et expérimentales qui sont incontournables, dans l’étude de l’écoulement dans un tunnel. Cela dans différents régimes d’écoulement selon les hypothèses et conditions émises. Les études théoriques et expérimentales des écoulements dans des conduites ont connu un développement remarquable dès le XXème siècle, avec la convergence de connaissances mathématiques et expérimentales et l’utilisation de calculateurs de plus en plus performants. Mais il faut noter que des études remarquables ont été menées au XIXème siècle. Le pionnier dans ce domaine est incontestablement Jean L. M. Poiseuille (1797-1869) qui le premier dégagea en 1844 une loi heuristique sur les écoulements visqueux en régime laminaire dans les tubes capillaires, loi qui sera plus tard exprimée sous sa forme théorique par l’allemand Hagen (1860) mais d’une manière très approximative. Par la suite, O. Reynolds (1883), avec son étude expérimentale en écoulement dans les conduites, des différents régimes d’écoulement selon un nombre adimensionnel, le nombre de Reynolds. Aujourd’hui ces études font l’objet d’intenses recherches tant sur le plan purement théorique qu’expérimental. Avec l’aire numérique, la simulation numérique permet de pousser encore plus loin, les limites de la mécanique des fluides. Actuellement la simulation numérique est au cœur de la majeure partie des recherches effectuées sur les tunnels. On peut citer le travail de Terek Beji et al. publié, lors du 12èmè Journée Internationale Thermique. Cette étude s’inscrit dans le cadre de l’APF (Avant Projet Fonctionnel) relatif à la future liaison ferroviaire entre Lyon et Turin (2005). Ils ont étudié l’établissement et l’exploitation d’un code de prédiction de l’évolution de la température dans un tunnel ferroviaire. Les études relatives aux écoulements dans les tunnels avec l’introduction de nouveaux paramètres, la prise en compte de certaines grandeurs jusqu’alors omises et des frontières curvilignes sont devenues de plus en plus complexes. C’est pourquoi nous assistons aujourd’hui à l’apparition de groupes internationaux, d’ingénieurs spécialisés sur l’étude et la construction des tunnels à l’image de l’Eurotunnel qui est une compagnie européenne, du CETU (centre d’étude des tunnels) en France, ou encore Egis-tunnel qui pilote des recherches, dans le cadre de thèses de doctorat en collaboration avec des universités, dans le domaine de la mécanique des fluides, du comportement des incendies et de la dispersion de la pollution. Ces recherches sont réalisées à l’aide de modèles numériques et de maquettes à l’échelle du 1/20éme, et s’appuient sur des résultats obtenus en vraie grandeur nature. Le CETU a fait développer des logiciels qui permettent de déterminer l’évolution dynamique et thermique dans un tunnel ou un réseau maillé de tunnel. Comme le logiciel Camatt (à une dimension), pour plusieurs tunnels reliés sous la forme d’un réseau maillé, à partir d’un code non maillé anisotherme transitoire, avec la continuité des flux aux nœuds par équilibre des pressions. Le logiciel Maille, contrairement au logiciel Camatt est fait à partir d’un code maillé isothermique et quasi-permanent. Ceci montre la tendance actuelle : il est donc intéressant de chercher à obtenir numériquement des solutions approchées de ces équations. C’est le rôle de la Mécanique des Fluides Numérique. La diversité des géométries, des conditions posées et hypothèses, rend ces phénomènes de l’air étudiés dans les tunnels, différents les uns aux autres. Citons par exemple le travail M. Antoine Mos qui, en 2005 a étudié les modèles phénoménologiques pour la simulation d’incendies en tunnel routier. En se concentrant sur l’aspect purement hydrodynamique (non prise en compte des  transferts thermiques), il obtient des résultats qui coïncident avec ses expérimentations. Pourtant dans la même année G. Auguin avait montré que les transferts thermiques peuvent influencer considérablement sur l’écoulement. Ainsi l’étude théorique (modèle théorique et modèle numérique) doit être suivie d’une approche expérimentale qui permet, moyennant le respect d’un certain nombre de conditions dites de similitudes, de reproduire sur modèles réduits des écoulements représentatifs de la réalité. Cependant si les moyens ne font pas défaut, ces expériences peuvent être faites à grandeur nature. Nous allons donc dans ce travail nous intéresser à la modélisation de l’écoulement de l’air en convexion mixte en régime instantionnaire dans un tunnel ouvert aux extrémités dont le plancher et le plafond sont respectivement à traces sinusoïdale et rectiligne. Ce mémoire est essentiellement composé de deux chapitres : la modélisation théorique et la modélisation numérique. Le chapitre premier, consacré à la modélisation théorique, commence par la position du problème et la description du système. Nous établissons ensuite les équations de fonctionnement puis effectuons une transformation du système de coordonnées avant de rendre nos équations de transferts adimensionnelles. Ce chapitre se termine par le calcul de certaines grandeurs pariétales. Le second chapitre qui concerne la modélisation numérique débute par la transformation de notre domaine continu en un domaine discret. Les équations de transferts adimensionnelles sont ensuite intégrées dans un volume de contrôle. Enfin nous avons mené une étude de la stabilité des schémas utilisés. A terme ce mémoire se termine par une conclusion générale avec de s orientations et perspectives.

Modélisation Théorique

Position du problème et description du système

Nous nous proposons dans ce chapitre de modéliser les transferts de chaleur et d’impulsion barycentrique d’un fluide non newtonien (en l’occurrence ici de l’air), de masse volumique ρ, de viscosité cinématique ν, de diffusivité thermique α dans un tunnel ouvert aux deux extrémités en régime instationnaire. A l’entrée, on force notre fluide avec une vitesse Ue  , donnant à notre étude un caractère de convection forcée. A cause de la différence de températures entre le plancher et le plafond une convection naturelle prend naissance dans le tunnel qui va donc se superposer à la convection forcée. Ainsi nous sommes en présence d’une convection mixte que nous allons modéliser. Le tunnel ouvert à ses extrémités est constitué d’un plancher de trace sinusoïdale et d’un plafond qui est une paroi plane horizontale maintenus respectivement à des températures Tf et T g qui, elle est constante. Les parois latérales sont des plans verticaux. Les hauteurs d’entrée et de sortie sont égales. (Voir figure1) Figure 1 : Tunnel à trace sinusoïdale. 

Formulation mathématique en variables primitives

Hypothèses Simplificatrices

L’air dans le tunnel est considéré comme étant un fluide incompressible (ρ=constante) et ayant des propriétés newtoniens .On suppose qu’il n’y a pas de termes sources pour la chaleur, et que la température du plancher Tf est supérieure à la température du plafond T g .la vitesse est constante par intervalles de temps et par tronçons de tunnel. L’étude dynamique et thermique est bidimensionnelle.

Equations de transfert

Le problème physique, ainsi décrit dans le tunnel entraine l’utilisation de trois équations fondamentales de la mécanique des fluides, à savoir l’équation de la conservation de la masse, l’équation de la quantité de mouvement et l’équation de conservation de l’énergie. On obtient un système d’équation à résoudre. -sous ses conditions, la forme mathématique de l’écoulement de l’air dans le tunnel peut s’écrire: ( ) ( ) p 0 1 2.2.1 avec div u t du grad p u g dt c dT T dt ρ ρ λ ν α ρ ρ α  ∂ + =  ∂    =− + ∆ + = ⋅    = ∆       ∗ = ρ ρ ( ) T Et les autres propriétés physiques de l’air sont constantes et que c’est cette Variation qui est à l’origine du mouvement. ⇒ =− − ρ ρβ ( ) ( ) T TT rT r   1 2.2.2 ( )   ( ) Décomposons grad On sait que : : pression thermodynamique; : pression hydrostatique :pression peziométrique ou pression motrice. 1 1 1 r p r p r p rT r p P P gy P g y P p p gy grad p grad T T ρ ρ ρ ρ ρ β ∗ ∗ ∗ = + ⇒= − ⋅ = ⋅   + −      p grad g y ( ) ρr p ∗   −     Mémoire de D.E.A, présenté par Robert. Sinadjé. Apino. Tendeng Laboratoire d’hydraulique et de mécanique des fluides/U.C.A.D/F.S.T/Dakar2009-2010 Page 15 Décomposons grad On sait que : : pression thermodynamique; : pression hydrostatique :pression peziométrique ou pression motrice. 1 1 r p r p r p Tr p r p P P gy P g y P p p gy grad p grad p g ρ ρ ρ β ρ ρ ρ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = + ⇒= − ⋅= +      ( ) ( ) ( ) est nègligeable devant les autres termes. r T r r p T r T T T T grad p g T T grad p β ρ β ∗ ∗   −+ − +   −     ( ) ( ) ( ) ( ) Les équations en 2.2.1 deviennent: div 0 2.2.3. 1 2.2.3. Tp r r u a u u grad u grad p u g T T t ν β ρ ∗ = ∂ + ⋅ =− ⋅ + ∆ − − ∂          ( ) ( ) ( ) ( 2.2.3. b T u grad T T c t α        ∂  + ⋅ =∆  ∂   Ainsi le champ de vitesse est liè au champ thermique:ces equations sont couplées. En d’autres termes ,connaissant ,on peut u T déterminer et pas l’inverse.  2.3-Conditions Initiales et aux Limites •Conditions initiales t ≤ 0 A l’instant initial, on observe au sein du tunnel un équilibre thermodynamique à la températureTr . On a : ( ) 0 p =0 2.3.1 0 u T ∗ = ∆ ∆ =  Mémoire de D.E.A, présenté par Robert. Sinadjé. Apino. Tendeng Laboratoire d’hydraulique et de mécanique des fluides/U.C.A.D/F.S.T/Dakar2009-2010 Page 16 •Conditions aux limites t > 0 A l’entrée Sachant que la vitesse de l’air dans le tunnel doit dépendre des coordonnées d’espace et du temps on considère que la vitesse à l’entrée du tunnel a un profil parabolique d’où le caractère de convection forcée, mais la condition d’adhérence aux parois (plancher et plafond) du tunnel impose une vitesse nulle de l’air sur ces dernières. On pose ( ) 2 0 ; u uy y y y x = = ++ α βγ ( ) ( ) ( ) 2 u u xyt y y e e x = = ++ , , α βγ 2.3.2    En tenant compte des conditions d’adhérence, nous obtenons après calcul : ( ) ( ) ( ) max 2 , , 2 4 avec ( 2) u u xyt y h y a e e x u h a α α = =− − = −    max u étant la vitesse maximale à l’entrée du tunnel. A la sortie Notre tunnel étant très long, de longueur L, on suppose à la sortie du tunnel, la variation longitudinale du champ de vitesse de l’air à partir de x = L est nulle. De même la variation longitudinale de la température de l’air à partir de x = L est nulle. En d’autres termes le régime est établi à la sortie de tel sort que le gradient longitudinal de la vitesse et de la température soient nulles. ( ) 0 2.3.3 0 x L x L u x T x = = ∂   = ∂  ∂   = ∂   Mémoire de D.E.A, présenté par Robert. Sinadjé. Apino. Tendeng Laboratoire d’hydraulique et de mécanique des fluides/U.C.A.D/F.S.T/Dakar2009-2010 Page 17 Sur le plancher : ( ) ( ) ( ) , 0 2.3.4 0 I uxf x T n = ∂ = ∂   : composante normale du plancher I n Sur le plafond : ( ) ( ) ( ) , 0 2.3.5 g u xg x T T = =   Puis qu’il est difficile de poser pour la pression des conditions aux limites aux parois du tunnel, l’utilisation de la vorticité s’impose.

Formalisme vorticité – fonction de courant

Motivation

Comme le terme de pression dans l’équation du mouvement est gênant car il est difficile de poser des conditions aux limites sur la pression aux parois du tunnel, il est souhaitable de l’éliminer.