Ecoulements inertiels en milieux poreux

Notion d’échelle

A leurs variété et complexité, s’ajoute une diversité importante de mécanismes physiques dont la description diffère selon l’échelle de taille adoptée par l’observateur extérieur, ce qui complexifie encore la tâche lorsqu’il s’agit de les modéliser. Afin de mieux illustrer cette notion d’échelle de taille, une structure poreuse comme celle d’un gisement d’hydrocarbure peut être prise comme exemple (Fig. 1.1). La dimension du milieu poreux est souvent supérieure de plusieurs ordres de grandeur au diamètre des pores ou des particules solides qui le constituent. Alors que l’ordre de grandeur du gisement se compte en km, celui des pores ou des particules solides est en µm. Cet écart de grandeur fait que les processus qui surviennent à l’échelle du gisement et les modèles mathématiques qui les régissent peuvent être très différents de ceux à l’échelle du pore. 

Echelle moléculaire

Considérée comme étant la plus petite échelle du milieu poreux, elle est de l’ordre du nm. A cette échelle, des processus survenant au niveau moléculaire comme les interactions entre les molécules du fluide et la paroi solide (effet de Klinkenberg) Notion d’échelle 1.1. Généralités 4 sont pris en compte dans la description de l’écoulement à travers le milieu poreux. La description de l’écoulement à cette échelle n’est pas abordée dans ce travail. Dans des cas spécifiques tels que les phénomènes diffusifs, d’adsorption, de réaction, d’interactions fortes fluide-parois des pores, de milieu nanoporeux, etc, il est nécessaire de considérer les mécanismes physiques à l’échelle moléculaire. Pour l’étude qui nous concerne, nous conservons une description classique de la mécanique des milieux continus, sans avoir recours à des considérations particulières à cette échelle.

Echelle du pore

Appelée aussi échelle microscopique, elle est caractérisée par le diamètre moyen des pores lβ dans le cas d’un milieu poreux consolidé ou par le diamètre moyen des grains lσ (dans le cas d’un milieu poreux non-consolidé par exemple) (voir Fig. 1.1). A cette échelle, le milieu poreux est considéré comme étant hétérogène dont l’hétérogénéité est du même ordre que le diamètre moyen des grains ou des pores. Le milieu poreux à l’échelle du pore est en effet constitué de plusieurs milieux continus (une phase solide et une ou plusieurs phases fluides) séparés par des interfaces. L’écoulement de fluide à cette échelle peut être décrit par les équations de conservation de quantité de mouvement et de masse (i.e. l’équation de Stokes en régime rampant ou visqueux et Navier-Stokes en régime inertiel) à l’aide des conditions initiales et aux limites du problème. Dans ce travail, nous nous limiterons à ces situations, en l’absence d’autres mécanismes de transfert (chaleur, masse, réaction, etc). Plusieurs raisons font que l’adoption de cette échelle pour la description des phénomènes de transfert dans le milieu poreux n’est pas appropriée. En effet, en plus de la complexité mathématique des modèles régissant l’écoulement à cette échelle, la topologie complexe du milieu rend difficile la définition des interfaces fluide-solide sur lesquelles des conditions aux limites sont appliquées. De plus la description de l’écoulement à cette échelle fournie des informations trop détaillées et les grandeurs physiques qui en résultent sont difficilement mesurables. C’est pour ces raisons qu’une description macroscopique en termes de grandeurs physiques facilement mesurables est nécessaire. 

Echelle locale

Elle est généralement appelée échelle macroscopique ou échelle de Darcy. La longueur caractéristique de cette échelle est L  lβ (voir Fig. 1.1). L’étude des phénomènes physiques à cette échelle est communément restreinte à un échantillon plus petit appelé Volume Elémentaire Représentatif (VER) qui présente statistiquement les mêmes caractéristiques que le milieu à partir duquel il a été extrait (voir plus de détails dans la partie 1.1.2). L’échantillon macroscopique est considéré comme un milieu continu homogène, en dépit du fait qu’il soit constitué d’un système multiphasique. En effet, l’échantillon poreux est remplacé par un modèle dans lequel toutes les phases du système se chevauchent et où chacune des phases occupe tout l’espace du milieu poreux. Les grandeurs physiques sont déterminées par des moyennes volumiques sur des Volumes Elémentaires Représentatifs (VERs) dont les valeurs sont affectées au centre du VER considéré. Bien qu’avec cette description, une grande quantité d’informations (champs à l’échelle du pore) soit perdue, la complexité géométrique du milieu poreux est surpassée. La description des écoulements de fluides à cette échelle est effectuée en fonction du régime d’écoulement, à l’aide de la loi de Darcy et de ses généralisations dans le cas d’un écoulement visqueux et classiquement à l’aide d’une loi de type Forchheimer dans le cas d’un écoulement en régime inertiel. Ces deux lois empiriques ont fait l’objet de justifications théoriques à l’aide des méthodes de changement d’échelle (méthode de prise de moyenne volumique par exemple) respectivement des équations de Stokes et de Navier-Stokes.

Echelle globale

Cette échelle est également appelée ”grande échelle” (voir Fig. 1.1). C’est l’échelle de tout le milieu poreux étudié qui est considéré comme hétérogène (variation spatiale de la porosité, perméabilité. . .). La description des écoulements de fluides à cette échelle peut être effectuée par des équations obtenues à partir d’un change-   d’un milieu poreux composé d’une phase solide σ et saturé par une phase fluide β. ment d’échelle des équations à l’échelle locale. L’une des méthodes employées pour ce changement d’échelle est la méthode de prise de moyenne à grande échelle. Cependant, dans de nombreuses applications (en génie pétrolier par exemple), des équations identiques à celles de l’échelle locale sont utilisées. Dans ce travail, une attention particulière est attribuée aux modèles décrivant l’écoulement de fluide à travers le milieu poreux à l’échelle locale. Ces modèles sont obtenus à partir du premier changement d’échelle (i.e. l’échelle microscopique à l’échelle locale comme décrit précédemment). Plusieurs méthodes de changement d’échelle rapportées dans la littérature peuvent être envisagées, comme par exemple, la théorie d’homogénéisation, les méthodes stochastiques, la méthode de prise de moyenne avec fermeture, etc.