Equations de type Vortex et métriques canoniques

Stabilité au sens G.I.T

La Théorie des Invariants Géométriques (G.I.T) a pour but d’étudier les quotients X/G où X est un C-schéma et G est un groupe algébrique agissant dessus. La théorie de Mumford ([M-F-K]) explique que de bons quotients apparaissent dans le cas où le groupe est réductif et agit de manière linéaire. Dénition 1.1.1. Un groupe algébrique linéaire G est dit réductif si son radical unipotent est trivial. Ceci est équivalent au fait que G est la complexication de son sous-groupe compact maximal. Si de plus G est connexe et de centre ni, on dit que G est semi-simple. Notation. Pour W un espace de G-représentation, WG désigne le sous-espace des éléments invariants. Dénition 1.1.2. Un groupe algébrique ane est un groupe Γ muni d’une structure de variété algébrique ane, telle que la multiplication Γ × Γ → Γ (g1, g2) 7→ g1g2 et l’inverse Γ → Γ g 7→ g −1 soient des morphismes de variétés algébriques. 1 2 Chapitre 1. Préliminaires Dénition 1.1.3 (Quotient catégoriel – géométrique). Soit G groupe algébrique ane agissant par γ sur un C-schéma X et soit Ψ : G × X → X × X le morphisme (γ, pr2) où pr2 est la projection sur le deuxième facteur. Un quotient catégoriel de X est un morphisme G-invariant φ : X → Y tel que pour tout morphisme G-invariant ψ : X → Z, il existe un unique morphisme φ¯ : Y → Z tel que φ¯ ◦ ψ = φ et G agisse trivialement sur Y et Z. Cela revient à dire que l’on dispose des diagrammes commutatifs suivants : Γ × X γ→ X pr2 ↓ φ ↓ X φ→ Y X ψ→ Z φ ↓ % φ Y Un quotient catégoriel est dit géométrique si l’image de Ψ est (φ×φ) −1 (∆Y ), c’est à dire que la bre de φ est précisément une orbite, et donc un quotient géométrique est un espace d’orbite X/G au sens de la théorie des ensembles. Dénition 1.1.4 (Quotient universel). Soit G groupe algébrique ane agissant sur un C-schéma X. Un morphisme φ : X → Y donne un bon quotient (Y, φ) si :  φ est ane et invariant : φ (gx) = φ (x) pour tout g ∈ G, x ∈ X.  φ est surjectif, et U ⊂ Y est ouvert si et seulement si φ −1 (U) est un ouvert de X, c’est à dire que φ est submersive pour la topologie quotient.  L’homomorphisme naturel OY → φ∗OG X est un isomorphisme, c’est à dire que OY (U) ‘ OX (φ −1 (U))G pour tout U ⊂ Y ouvert.  Si W est un sous-ensemble invariant fermé de X, φ (W) est encore fermé. Si W1, W2 ⊂ X sont des fermés invariants disjoints, alors φ (W1) ∩ φ (W2) = ∅. Le morphisme φ constitue un bon quotient universel (resp. quotient géométrique universel) si Y 0 ×Y X → Y 0 est un bon quotient (resp. quotient géométrique) pour tout morphisme Y 0 → Y de C-schémas. Quand il existe, un bon quotient géométrique de X est unique (car c’est aussi un quotient catégoriel) et on le notera X//G. Dénition 1.1.5. Une linéarisation l de l’action γ du groupe algébrique linéaire réductif G sur X est la donnée d’un bré en droites L sur X et d’une action linéaire de G sur L induisant celle sur X. Cela revient à dire que l’on dispose du diagramme commutatif G × L l −→ L ↓ ↓ G × X γ −→ X Lorsque X est munie d’une métrique Kähler ω, nous étendons la dénition de linéarisation pour un groupe de Lie compact G pour lequel sa complexication GC agisse holomorphiquement (i.e GC × X → X est holomorphe) et G agisse par diéomorphismes symplectiques (i.e g ∗ (ω) = ω pour tout g ∈ G). 1.1 Stabilité au sens G.I.T 3 L’introduction de ces dénitions sont justiées par le théorème fondamental suivant : Théorème 1.1.6. Soit G un groupe linéaire réductif agissant sur un C-schéma ane X de type ni. Notons A (X) l’anneau des coordonnées de X ainsi que Y = Spec (A (X))G . Alors A (X) G est niment engendré sur C, Y est de type ni et l’application naturelle π : X → Y est un bon quotient universel pour l’action de G. Supposons que Ξ est un schéma projectif avec G groupe algébrique linéaire réductif et L une G-linéarisation avec L ample sur Ξ. Le groupe G agit naturellement sur H0 (Ξ, L) et le morphisme naturel H0 (Ξ, L) ⊗ OΞ → L est équivariant et induit un plongement G-équivariant Ξ ,→ P 

Stabilité au sens de la géométrie symplectique

De manière générale, il est relativement dicile de vérier explicitement la stabilité d’un point. Cependant le critère suivant nous permettra de voir que les points stables sont caractérisés par des propriétés géométriques et ainsi de basculer dans le monde géométrique diérentielle :  Théorème 1.2.1 (Kempf-Ness [K-N]). Soit Γ C un groupe algébrique réductif de sous-groupe maximal compact Γ et Υ un espace vectoriel complexe muni d’une représentation linéaire ρ : Γ → GL(Υ) et d’une métrique ρ(Γ)-invariante h.  Un point θ ∈ PΥ est G.I.T-stable vis à vis de la linéarisation OPΥ(1) si et seulement si la fonction g 7→ ||ρ(g) · θ||2 h est propre et bornée inférieurement par une constante strictement positive sur Γ C/Γ où θ est un relèvement de θ dans l’espace Υ.  Un point θ ∈ PΥ est OPΥ(1)-polystable si et seulement si la fonction g 7→ ||ρ(g) · θ||2 h admet un minimum strictement positif, qui est unique modulo l’action du groupe StabΓC