Espace topologique, espace normé et espace métrique

Dans un espace métrique X, on dit qu’un sous-ensemble A est dense dans un autre sous-ensemble B si B ⊂ A. Ceci veut tout tout simplement dire que tout point de B est à distance nulle de A (et peut donc être approché autant que souhaité par un point de A). C’est une notion d’approchabilité. En général, le principal intérêt de la notion de densité est le raisonnement par prolongement. C’est à dire, on montre une propriété d’abord pour un ensemble « simple » en quelque sorte (dénombrable ou bien composé d’éléments particulièrement agréables à manipuler par exemple) puis on la prolonge à un ensemble moins sympathique à l’aide d’un théorème de prolongement (voir [6] pour plus de détails). Soient I un intervalle de R et E un espace de Banach séparable. Dans le cadre de). Ce résultat a été obtenu par plusieurs auteurs dans la dimension finie ([13], [23]) et aussi dans le cas général ([5], [22] et [20]). Dans [10], l’auteur a montré que S1f (s)ds kE, et dans la dimension quelconque. Ce théorème de densité fait l’objet principal de ce mémoire, nous donnons une preuve d’une manière très détaillée au cours du deuxième chapitre.

où co est l’enveloppe convexe fermée, l’auteur a pu montrer que sous certaines conditions l’ensemble SI des solutions de (I) est dense dans SII des solutions de (II), pour la to- pologie de la convergence uniforme sur l’intervalle I. L’étude détaillée de ce résultat de relaxation fait l’objet du troisième chapitre de ce mémoire.Notons des résultats de relaxation similaires out été établis en dimension finie (voir exemple [11]). où le second membre F est supposé à valeurs compactes, et où les preuves se basent sur la dimension finie contrairement à [10].Définition 1.5.5. (Fonction mesurable) Soient (X1, Σ1), (X2, Σ2) deux espaces me- surables et f une application définie sur X1 à valeurs dans X2. On dit que f est (Σ1, Σ2)- mesurable si pour tout A ∈ Σ2, f -1(A) ∈ Σ1.Si X2 est un espace topologique, une application (Σ1, B(X2))-mesurable est dite application Borélienne ou Σ1-mesurable.

Définition 1.5.11. Soient (X, Σ, µ) un espace mesuré positif et A un sous ensemble de X. On dit que A est µ-négligeable ou négligeable, s’il existe B ∈ Σ tel que A ⊂ B et µ(B) = 0. • On dit qu’une propriété sur X est vraie µ-presque partout (µ.p.p.), si l’ensemble où elle n’est pas vérifiée est µ-négligeable.Théorème 1.5.12. Soit (X, Σ, µ) un espace mesuré fini et E un espace de Banach sépa- rable. Si f : X → E est mesurable, alors il existe une suite {fn}n≥1 d’application simples telles que fn → f µ-p.p, et pour µ-presque tout x ∈ E , kfn(x)k ≤ kf (x)k pour tout n ∈ N∗.• La tribu µ-complétée de Σ notée Σµ est la tribu engendrée par Σ et les ensembles µ-négligeables, c’est à direProposition 1.5.15. ( [9](Castaing), Proposition VII-4, p. 198) Soit (T, Σ, µ) un espace mesuré positif σ-fini, et µ-complet, E un espace de Banach séparable et soit f : T → E une application mesurable de T dans E. Alors, il existe une suite (Tn)n de sous-ensembles mesurables de T , deux à deux disjoints telle que :

Intégrale de Bochner

Il s’agit de l’intégrale d’une application à valeurs dans un Banach. Dans toute cette section, E est un espace de Banach séparable que l’on munit de sa tribu borélienne et un espace mesuré (T, Σ, µ).Les notions de cette section ont été prise de [16].Définition 1.6.1. Soit A ⊂ X. La fonction indicatrice (caractéristique) de A est laDéfinition 1.6.3. (Fonction simple). Soient (X, Σ) un espace mesurable, E un espace de Banach et f : X → E. On dit que f est une application simple si elle mesurable et prend un nombre fini de valeurs.Cette notion est la généralisation d’une fonction en escalier ( on dit « en escalier » lorsque on départ d’un réel). Toute fonction simple peut s’écrire sous la formeDéfinition 1.7.1. Soient X et Y deux espaces topologiques et F : X → Y . une applica- tion. Alors f est continue si pour tout x0 ∈ X et tout voisinage V de f (x0) dans Y , il existe un voisinage U de x0 dans X, tel que f (U ) ⊂ V. Ou encore, si pour tout ouvert(resp fermé) V de Y , f −1(V ) est un ouvert ( resp fermé) de X.Définition 1.7.2. Une application f définie sur T à valeur dans un espace vectoriel normé (E, k · k) est dite absolument continue si pour tout ε > 0 il existe ζ > 0 tel que pour toute famille finie d’intervalles ouverts deux à deux disjoints de T ; (]ai, bi[)i∈{1,…,n}, nous avons nDéfinition 1.8.1. Soient X, Y deux ensembles non vides. On appelle multi-application F définie sur X à valeurs dans Y toute application qui à chaque élément x ∈ X associe un sous-ensemble F (x) de Y , et on note F : X Y ou F : Y → P(Y ).