Etude de la circulation océanique en Méditerranée
Nord-Occidentale à l’aide d’un modèle numérique à
haute résolution

Hydrodynamique de la Méditerranée Occidentale 

 De la mécanique des fluides vers l’océanographie physique La mécanique des fluides est une discipline à la fois vaste et diversifiée qui consiste en l’étude du comportement des fluides (gaz et liquides). Tout un chacun l’a déjà pratiquée, au moins empiriquement, en constatant la complexité de l’écoulement d’une rivière, l’organisation de certaines volutes de fumée ou les changements qui s’opèrent sur un jet d’eau au fur et à mesure que l’on ouvre son robinet. Associant aussi bien outils mathématiques modernes qu’observations expérimentales, elle recouvre différents champs scientifiques comme la physique, la thermodynamique, la mécanique ou la chimie. La mécanique des fluides repose sur une analyse macroscopique des différents mécanismes faisant ainsi de cette discipline une branche de la mécanique des milieux continus. Comme il est décrit dans la section suivante, et ce sera un des fils conducteurs du manuscrit, il s’agit d’une question d’échelles. 

Point de vue macroscopique et approche milieu continu 

Un fluide est constitué d’entités fondamentales discrètes, les molécules. Le mouvement d’un fluide est donc défini par le mouvement de chacune de ses particules. Cependant, lorsque le milieu est suffisamment dense, on peut le considérer à une échelle plus grande, à laquelle la matière est répartie continument. Cette échelle, dite mésoscopique, est à la fois suffisamment grande pour contenir un très grand nombre de molécules et à la fois suffisamment petite pour assurer la définition de valeurs locales de manière continue (fig. 1.1). Elle est infinitésimale à l’échelle macroscopique, à laquelle l’oeil humain voit le monde qui l’entoure. Cette approche, dite des milieux continus, permet de définir un domaine physique à l’échelle mésoscopique appelé la particule fluide. Il devient le domaine physique infinitésimal défini par une masse volumique, une vitesse, une pression, une température, … FIGURE 1.1 – Les différentes échelles de description d’un écoulement. 12 Généralement en mécanique des fluides, on choisit d’observer un écoulement en se plaçant d’un point de vue extérieur au fluide. On le décrit alors en points fixes, indépendants du mouvement du fluide, définis par leurs coordonnées spatiales et à un instant donné (x,y,z,t). Il s’agit d’une description Eulerienne (fig. 1.2). Elle s’oppose à la description Lagrangienne dans laquelle, en s’inspirant de la mécanique classique, on suit chaque particule fluide définie alors par des coordonées spatiales variables dans un repère donné à un instant t. Dans la description Eulerienne, les variables exprimées en un point (x,y,z) à l’instant t caractérisent la particule fluide passant par ce point à cet instant. Si on généralise à un volume fini et fixe de l’espace contenant un ensemble de particules fluides à un instant t, il ne renfermera pas les mêmes particules fluides à l’instant suivant t+dt. Il y a un flux de propriétés entre l’extérieur et l’intérieur du volume lié au mouvement du fluide. Un tel volume est appelé volume de contrôle. FIGURE 1.2 – Repésentation eulerienne (a) vs représentation lagrangienne (b). Source : Chassaing [2010] Pour exprimer dans cette description des variations prenant en compte le mouvement d’une ou d’un ensemble de particules fluide, on doit faire appel à la dérivation particulaire. Supposons une particule située en (x,y,z) à un instant t et se déplacant en (x+u dt,y+v dt,z+w dt) en un temps dt. La variation d’une variable f s’écrit : df = f(t + dt, x + u.dt, y + v.dt, z + w.dt) − f(t, x, y, z) df = ∂f ∂t dt + ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz df = (∂f ∂t + u ∂f ∂x + v ∂f ∂y + w ∂f ∂z )dt La dérivée particulaire de cette variable f est : Df Dt = (∂f ∂t + u ∂f ∂x + v ∂f ∂y + w ∂f ∂z ) Df Dt = ∂f ∂t + −→v . −−→gradf Elle fait apparaitre une variation temporelle et une variation liée au déplacement du fluide contenant un gradient de la variable dans la direction du déplacement. Cette dernière est dite convective. L’approche milieu continu permet également de schématiser mathématiquement le comportement d’un fluide et d’introduire des propriétés physiques à l’échelle macroscopique. — Un fluide est ainsi caractérisé localement par sa masse volumique ρ exprimée en (x, y, z, t). — Lorsqu’un fluide est mis en mouvement, il en résulte des forces de cisaillement qui s’oppose à la vitesse relative de deux particules fluides en contact. Ce frottement qui entraine une dissipation d’énergie est un modérateur des écoulements. On introduit alors la notion de viscosité qui est associée à la résistance qu’oppose une particule fluide à un changement de vitesse dans son entourage. Pour les fluides dit newtoniens qui réprésentent bien les fluides usuels comme l’eau ou l’air, la contrainte visqueuse associée est proportionnelle au gradient de vitesse. Le coefficient de proportionnalité est la viscosité dynamique notée µ. On introduit également la viscosité cinématique ν = µ/ρ. 13 — Un milieu qui n’est pas thermiquement homogène tend naturellement à s’homogénéiser par un processus de conduction thermique. Dans l’approche milieu continu, elle résulte d’un transfert de chaleur entre une particule fluide et son entourage direct. Le flux de chaleur échangé par unité de surface est proportionnel au gradient de température. C’est la loi de Fourier avec comme coefficent de proportionnalité la conductivité thermique λ. On introduit la diffusivité thermique κt = λ/(ρ.Cp) avec Cp la chaleur spécifique du fluide. — La diffusivité de salinité κs joue un rôle similaire au coefficient de diffusivité thermique pour la concentration en sel.

 Les équations de Navier-Stokes 

Ces équations décrivent et prévoient les écoulements fluides. Elles découlent de l’application des principes de la mécanique et de la thermodynamique à un fluide en mouvement. Conservation de la masse FIGURE 1.3 – Conservation de la masse dans un volume de contrôle. La conservation de la masse en mécanique des fluides est une hypothèse fondamentale. Dans un repère cartésien, on peut considérer un élément de volume dv = ∆x.∆y.∆z en (x, y, z, t) qui contient un fluide de masse volumique ρ. En l’absence de sources ou puits, la variation de la masse ρ(x, y, z, t).dv à l’intérieur de ce volume correspond à la masse de fluide qui a traversé la frontière du volume pendant un instant δt. Avec le formalisme de la figure 1.3 et en ne considérant qu’une seule dimension, ce débit s’écrit : ρ(x, y, z, t).u(x, y, z, t).∆y∆z − ρ(x + ∆x, y, z, t).u(x + ∆x, y, z, t).∆y∆z = − ∂ρu ∂x .∆x∆y∆z En considérant maintenant les 3 dimensions de l’espace auxquelles sont associées les 3 composantes de la vitesse (u, v, w), on obtient la relation locale de bilan de masse dite équation de continuité : ∂ρ ∂t + ∂ρu ∂x + ∂ρv ∂y + ∂ρw ∂z = 0 ∂ρ ∂t + div(ρ −→v ) = 0 Dρ Dt + ρdiv( −→v ) = 0 Conservation de la quantité de mouvement On cherche à écrire l’équation fondamentale de la dynamique pour l’élément de volume contenant une (ou des) particule fluide en (x, y, z) de masse dm = ρ(x, y, z).dV . Deux types de forces extérieures s’exercent sur le domaine : — Les forces de volume qui s’exerce à distance dans le volume du domaine. On les désigne par −→F et elles s’exercent par unité de masse. Il s’agit par exemple de la force de gravité ou de la force de Coriolis. — Les forces de surface sont transmises par contact par l’extérieur de l’élément de volume. Elles s’exercent sur la surface du domaine. Par conséquent, on les traduit souvent par une contrainte −→σ , en divisant cette force par la surface sur laquelle elle s’exerce. La force de pression, qui s’exerce normalement à la surface, et la force de viscosité, qui s’exerce tangentiellement à la surface, sont des exemples de ces forces. En appliquant au volume D de surface S la loi fondamentale de la dynamique, on obtient : Z Z Z D ρ. D −→v Dt .dV = Z Z Z D ρ. −→F .dV + Z Z S −→σ .dS Analyse des forces de surfaces Sur chacune des trois facettes d’un élément de volume élémentaire s’exercent trois forces de surfaces qui s’expriment par leur vecteurs contraintes 1.4. −→σ = −→σx + −→σy + −→σz −→σx = σxx −→x + σyx −→y + σzx −→z −→σy = σxy −→x + σyy −→y + σzy −→z −→σz = σxz −→x + σyz −→y + σzz −→z FIGURE 1.4 – Composantes du tenseur des contraintes σ¯¯. Ainsi, on définit un tenseur des contraintes de surface par −→σ = σ. ¯¯ −→n . Il s’agit d’un outil mathématique qui permet de définir complètement l’état de contrainte en un point. Les composantes σxx, σyy et σzz sont normales alors que les autres sont des contraintes tangentielles de cisaillement. Les contraintes de surface qui s’appliquent sur un fluide en mouvement se décomposent en deux termes : σ¯¯ = −P ¯¯I + τ¯¯ où P est la pression statique, ¯¯I est la matrice 3*3 unité (la pression s’applique uniquement normalement à la surface) et τ¯¯ est le tenseur des contraintes liées au déplacement du fluide. Comme nous l’avons vu précedemment, le comportement du fluide que nous traiterons par la suite est bien représenté par le schéma de Newton (contraintes visqueuses proportionnelles aux gradients de vitesse). En supposant la divergence de la vitesse nulle (hypothèse d’incompressibilité, voir 2.1.3), on a : τxx = µ( ∂u ∂x + ∂u ∂x); τxy = τyx = µ( ∂u ∂y + ∂v ∂x); τxz = τzx = µ( ∂u ∂z + ∂w ∂x ) τyy = µ( ∂v ∂y + ∂v ∂y ); τyz = τzy = µ( ∂v ∂z + ∂w ∂y ) τzz = µ( ∂w ∂z + ∂w ∂z ) 15 Equation de la conservation de quantité de mouvement En reprenant l’équation fondamentale de la dynamique, à laquelle on a appliqué le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient : ρ. D −→v Dt = ρ. −→F + divσ¯¯ Ce qui donne, en posant le laplacien ∆ = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 , l’équation de Navier-Stokes projetée sur les 3 axes : −→x : ρ Du Dt = ρFx − ∂P ∂x + µ∆u −→y : ρ Dv Dt = ρFy − ∂P ∂y + µ∆v −→z : ρ Dw Dt = ρFz − ∂P ∂z + µ∆w Conservation de l’énergie La première loi de la thermodynamique stipule que la variation d’énergie totale (E) d’un système fermé est due au travail (de puissance W) et à la chaleur (de puissance Q) échangée avec l’extérieur. DE Dt = W + Q L’énergie totale est la somme de l’énergie interne (e) et de l’énergie cinétique (Ec). On peut connaitre la variation d’énergie cinétique en multipliant scalairement l’équation de quantité de mouvement par la vitesse (Chassaing [2010] p.99). La variation d’énergie interne s’exprime alors par : De Dt = Q + We L’énergie interne (e) est une mesure de l’agitation thermique des molécules. Elle est proportionelle à la température : e = Cv.T avec Cv la chaleur spécifique à volume constant. We = −P div−→v + τ. ¯¯ ¯¯ grad−→v représente un travail dû aux forces de pression (nul si le fluide est incompressible, ce qui sera notre cas dans la suite de l’étude, voir 2.1.3) plus un travail mécanique de friction à l’intérieur du système. Ce dernier est un processus irréversible dissipatif. Q est la puissance thermique échangée par conduction (Qc) ou par source interne (Qi : rayonnement ou libération de chaleur latente par exemple). La condution s’exprime par le schéma de conduction thermique de Fourier qui lie la densité du flux de chaleur à la température par : −→q = −λ −−→gradT or Z Z Z D QcdV = − Z Z S −→q .−→n dS = − Z Z Z D div−→q dV donc Qc = λ∆T En prenant en compte l’incompressibilité, on en déduit donc une équation d’advection-diffusion de la température avec des termes sources : ρ DT Dt = κt.∆T + Qi Cv |{z} source de chaleur interne + We Cv |{z} dissipation visqueuse interne 16 avec κt = λ/Cp la chaleur spécifique du fluide. 

 L’océanographie physique, une dynamique des fluides géophysiques 

La mécanique des fluides géophysiques est l’étude des écoulements fluides des planètes. L’océanographie physique en constitue une branche et étudie les mouvements et les propriétes des masses d’eau des océans. En cela, elle obéit aux équations développées précédemment. Cependant, deux ingrédients y jouent un rôle prédominant et la distinguent de la mécanique des fluides traditionnelle : La rotation terrestre et la stratification. L’influence de ces deux éléments conduit à des écoulements singuliers caractéristiques de la mécanique des fluides géophysiques. La force de Coriolis La rotation terrestre induit deux termes d’accélération qui se traduisent dans le repère en rotation par des forces : la force de Coriolis et la force centrifuge. Cette dernière ne constitue pas un élément déterminant. Elle tend à diminuer la force gravitationnelle et donne à la surface globale des océans une forme de géoïde (Cushman-Roisin [2011] p.45). En revanche, la force de Coriolis est primordiale. Elle donne au fluide une cohérence sur la verticale et un mouvement de rotation. Elle se traduit par les forces volumiques suivantes : −→x : Fx = fv − f∗w −→y : Fy = −fu −→z : Fz = f∗u avec f le paramètre de Coriolis (f = 2Ωsinφ) où Ω est la vitesse de rotation terrestre et φ la latitude. f∗ = 2Ωcosφ est négligeable devant f lorsque l’on considère que la profondeur des océans est négligeable devant le rayon terrestre (Vallis, G.K. [2006] p.61,62). En outre, cette approximation permettra d’approximer la différenciation verticale géographique de la vitesse par la cartésienne : 1 r 2 ∂(r 2w) ∂r → ∂w ∂r . Elle repose sur le fait que les mouvements sont faibles devant le rayon terrestre. Un fluide caractéristique : l’eau de mer L’eau peut, dans une bonne approximation, être considérée comme incompressible. C’est à dire que Dρ Dt = 0. L’équation de continuité devient donc : div−→v = 0 Cette approximation atteint sa limite lorsque l’on étudie des ondes sonores dans l’eau qui sont dues à des ondes de compression du fluide. Elle est très bonne dans les autres cas et permet de nombreuses simplifications. Elle sera vérifiée dans le chapitre 2 par l’approximation de Boussinesq (voir 2.1.3). L’eau de mer est caractérisée par sa température, sa salinité et sa pression dont dépendent sa densité. La relation ρ = f(T, S, P) est appelée l’équation d’état. L’évolution de la température a été définie précédemment par le principe de conservation de l’énergie. La quantité en sel se conserve également. Sans termes de sources ou de puits, la salinité obéit une équation d’advection-diffusion : DS Dt = κs.∆S avec κs le coefficient de diffusivité saline qui joue pour la salinité un rôle analogue à κt pour la température. La stratification Les écoulements dans l’océan font intervenir des fluides de différentes densités sur lesquelles s’exercent une force gravitationnelle dirigée selon la verticale. C’est une force volumique qui s’exprime par : −→z : Fz = −g avec g l’accélération de la pesanteur (g ~ 9.81m.s−2 ). Elle tend à positionner les eaux denses (salées et froides) au fond et les eaux légères (peu salées et chaude) en surface. Ainsi, l’océan est stratifié sur la verticale. C’est un équilibre que les mouvements du fluide perturbent mais vers lequel fait tendre la gravité. Cette stratification agit comme une barrière et limite les échanges verticaux entre deux couches. Les échanges sont d’autant plus faibles que la stratification (différence de densité entre deux couches d’eaux superposées) est forte. Elle peut être dégradée par des phénomènes turbulents (mélange) et même complètement détruite par des phénomènes convectifs (instabilité gravitationnelle suivie d’un mélange). 

 Résumé des équations de l’océanographie 

Pour résumer, le système d’équations du modèle de Navier-Stokes (avec un fluide newtonien incompressible) adapté à l’océanographie permet d’aboutir au système d’équations suivant :    Continuite : div−→v = 0 Dynamique−→x : ρ Du Dt = ρfv − ∂P ∂x + µ∆u Dynamique−→y : ρ Dv Dt = −ρfu − ∂P ∂y + µ∆v Dynamique−→z : ρ Dw Dt = −ρg − ∂P ∂z + µ∆w Equation d0 etat : ρ = f(T, S, P) Chaleur : ρ DT Dt = κt.∆T + Qi Cv + We Cv Salinite : DS Dt = κs.∆S Sans prendre en compte Qi et We (voir 2.1.4), il s’agit d’un système à 7 équations et à 7 inconnues (ρ, u, v, w, P ,T et S). Les paramètres sont : f, g, µ, κt, κs et Cv. Le système est donc fermé et est capable en théorie de fournir des solutions à différents écoulements conditionnés par un ensemble de conditions initiales et de conditions aux limites. Cependant, ce modèle pose un certain nombre de problèmes. En effet, la non linéarité des équations peut amener à des solutions d’écoulement d’une grande complexité. De plus, les processus n’ont pas forcément des influences comparables selon le type d’écoulement. Il est donc judicieux de simplifier ce modèle grâce à diverses hypothèses afin d’arriver à un modèle plus restreint qui présentera des équations plus simples à résoudre. Ce modèle et son outil de résolution seront présentés dans le chapitre 2 (voir 2). On a vu que les courants océaniques se mettent en place sous l’action de différentes forces (force de Coriolis, force de pression, force gravitationnelle, forces de friction et dissipation). Une partie de l’énergie nécessaire à ces mouvements est fournie par les forçages à ses frontières (échange de chaleur avec l’atmosphère, échange d’eau douce par rivières et évaporation, action du vent, pression atmosphérique). A cause de cette complexité, les courants ne sont pas stationnaires, mais instables et turbulents. Cependant, les processus physiques ne sont pas tous dynamiquement influents à toutes les échelles de grandeur. Certains peuvent s’avérer négligeables à certaines échelles et primordiales à d’autres. Ainsi, une première représentation à grande échelle de l’océan est un océan en équilibre entre les forces de pression et la force de Coriolis (au premier ordre de grandeur et loin des frontières). Dans cette approche géostrophique, les courants sont stationnaires (première description des grands courants océaniques). A partir de cette approche, les océanographes cherchent à comprendre le rôle de phénomènes d’échelle de plus en plus petite. Ces phénomènes, fortement non stationnaires, font intervenir les autres forces du modèle avec des influences diverses. Ils se répartissent sur une gamme d’échelle qui va de la 18 mésoéchelle (~100km, gros tourbillons océaniques et méandres des grands courants) jusqu’à une très fine échelle (~1m, dissipation turbulente ) en passant par la sub-mésoéchelle (~10km, petits tourbillons et processus frontaux). Cette étude s’inscrit dans une démarche de compréhension des processus à méso et submésoéchelle dans un bassin océanique qui présente une forte activité à ces échelles : la Méditerranée Occidentale.