Étude des propriétés de champ proche et de champ
lointain des nano-antennes infrarouges

 Les lois du rayonnement thermique

Historique

Les premières observations établissant un lien entre le rayonnement thermique et les composantes spectrales ont été menées par William Herschel en 1800 [1]. Remarquant que les différents filtres colorés qu’il utilisait pour observer la lumière du Soleil ne semblaient pas laisser passer la même quantité de chaleur, Herschel mis en place un dispositif pour étudier ce phénomène. Faisant passer la lumière du Soleil par un prisme pour séparer les composantes spectrales par diffraction, il disposa des thermomètres de manière à ce que chacun soit éclairé par une couleur donnée. Il observa ainsi que la température mesurée augmentait avec la longueur d’onde. En outre et de façon surprenante, la température la plus élevée atteinte n’était pas affichée sur le thermomètre illuminé par la couleur rouge mais sur le thermomètre placé à côté de ce dernier et qui servait de contrôle, celui-ci n’étant pas éclairé par le spectre visible. Cette élévation de la température provenait du fait que le thermomètre était en réalité éclairé par une partie du spectre électromagnétique comprenant de plus grandes longueurs d’onde que le visible et donna lieu à la découverte de l’infrarouge. D’autres travaux pionniers qui ont posé les bases des connaissances sur le rayonnement thermique ont suivi dont notamment ceux de Gustav Kirchhoff vers 1860 sur la relation entre l’absorption et l’émission d’un corps chauffé [2] et la description d’un objet idéal appelé corps noir, ainsi que ceux de Max Planck en 1900 concernant la répartition énergétique du rayonnement thermique de ce corps noir.

Corps noir

Le corps noir se comporte à la fois comme un absorbant et un émetteur parfait omnidirectionnel et sert de référence pour l’étude des propriétés d’absorption et d’émission des objets réels. Sa définition est la suivante : il s’agit d’un objet fictif qui absorbe parfaitement toute l’énergie électromagnétique qu’il reçoit sans en transmettre ni réfléchir et ce quelles que soient la direction d’incidence, la longueur d’onde et la polarisation. Un corps noir peut être modélisé par une large enceinte opaque contenant un gaz de photons en équilibre thermique à une température T et percée d’un trou. Le diamètre du trou doit être suffisamment petit pour considérer que toute lumière entrant dans l’enceinte soit absorbée ou réfléchie par les parois internes sans pouvoir ressortir. Le trou constitue ainsi un corps noir dont le rayonnement dépend de la température T. Pour caractériser le rayonnement thermique d’un objet étendu, une grandeur physique dénommée la luminance énergétique spectrale Ll(ω, θ, φ, T) est utilisée. Elle correspond à la puissance optique émise par unité de surface, par unité d’angle solide dans la direction définie par les angles θ et φ, par unité de pulsation ω, dans l’état de polarisation l. Elle s’exprime en W.m−2 .sr−1 .Hz−1 . La luminance énergétique d’un corps noir possède plusieurs propriétés : — Elle est indépendante de la forme du corps noir ou des matériaux le composant. — Elle est isotrope, ce qui signifie qu’un corps noir est une source idéale de type Lambertienne. — Elle ne dépend que de la température T pour une pulsation ω fixée. En prenant en compte ces considérations, la notation de la luminance énergétique pour un corps noir peut être simplifiée et s’écrire L ◦ (ω, T), l’exposant ◦ servant à dénoter qu’il s’agit du cas idéal d’un corps noir.

 Loi de Planck

 La distribution de la luminance énergétique spectrale en W.m−2 .sr−1 .Hz−1 du rayonnement thermique du corps noir à l’équilibre thermique en fonction de sa température est définie par la loi de Planck : L ◦ (ω, T) = ~ω 3 4π 3c 2 1 exp(~ω/kBT) − 1 (I.1) avec ~ = h/2π où h ‘ 6, 626 × 10−34 J.s la constante de Planck, ω la pulsation du rayonnement émis par la source, c la vitesse de la lumière dans le vide, kB ‘ 1, 381 × 10−23 J.K−1 8 CHAPITRE I. CONTRÔLE DU RAYONNEMENT THERMIQUE la constante de Boltzmann. La luminance énergétique d’un corps noir peut aussi être exprimée en fonction de la longueur d’onde λ = 2πc/ω, ses unités sont alors en W.m−3 .sr−1 . L ◦ (λ, T) = 2hc2 λ5 1 exp(hc/λkBT) − 1 (I.2) La luminance énergétique pour différentes températures T est tracée en I.1 en appliquant la loi de Planck. Ces températures correspondent à différents objets dont le rayonnement va suivre la loi du corps noir, modulé par leur émissivité spectrale, c’est-à-dire leur propension à émettre de la lumière aux différentes longueurs d’onde : le corps humain à 310 K, une flamme à 1200 K, une lampe à incandescence halogène à 3200 K et enfin le Soleil à 5900 K. Le spectre du corps noir à une température donnée représente le maximum de luminance atteignable pour n’importe quel objet étendu de même température.

Loi de Wien 

On remarque sur la figure I.1 que pour une température de 310 K qui correspond au corps humain, le maximum du rayonnement émis se trouve dans l’infrarouge autour de 9.35 µm et que pour le Soleil, ce maximum se trouve dans la gamme spectrale du visible, vers 491 nm. Ainsi, la longueur d’onde correspondant à ce maximum est inversement proportionnelle avec la température. Pour un objet dont le rayonnement thermique suit la loi de Planck, une élévation de la température entraîne un décalage de la distribution spectrale vers les plus courtes longueurs d’onde.

Loi de Stefan-Boltzmann 

Le corps noir étant une source Lambertienne, sa luminance énergétique est uniforme angulairement. La loi de Lambert obtenue en intégrant la luminance énergétique donnée par la loi de Planck sur un demi-espace permet d’établir un lien de proportionnalité entre la luminance énergétique du corps noir L ◦ (λ, T) et l’émittance spectrale M◦ (λ, T) qui correspond à la puissance totale rayonnée par unité de surface et par unité de longueur d’onde et qui est exprimée en W.m−3 : M◦ (λ, T) = πL◦ (λ, T) (I.4) En intégrant spectralement M◦ (λ, T), nous obtenons l’émittance totale d’un corps noir M◦ (T) exprimée en W.m−2 . Nous obtenons ainsi la loi de Stefan-Boltzmann qui permet de décrire la puissance rayonnée par un corps noir uniquement en fonction de sa température T (Fig. I.2) : M◦ (T) = σBT 4 (I.5) avec σB = 2π 5k 4 B/15h 3 c 2 = 5.67 × 10−8 W.m−2 .K−4 la constance de Stefan-Boltzmann. 

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