Etude d’un probleme inverse pour un systeme de diffusion

Formulation du problème

On considère le problème inverse qui consiste à déterminer le terme source f : Ω → R m dans le système de diffusion suivant.    ut(x, t) − D∆u(x, t) = f(x), 0 < t < 1, x ∈ Ω, u(x, t) = 0, 0 ≤ t < 1, x ∈ ∂Ω, u(x, 0) = 0, x ∈ Ω, (4.1) avec la donnée supplémentaire u(x, 1) = g(x), (4.2) o`u Ω un domaine borné suffisamment régulier dans R p , D est une m × m matrice réelle diagonalisable dont les valeurs propres sont strictement positives 1 . On note par X l’espace de Hilbert (L 2 (Ω))m des fonctions à carré integrable u : Ω → R muni du produit scalaire usuel. hu, vi = Z Ω (u1(x)v1(x) + …. + um(x)vm(x))dx. On définit l’opérateur non-borné A comme suit A : D(A) ⊂ X → X , Au = −D∆u, u ∈ D(A), avec D(A) = (H(Ω)2 ∩ H1 0 (Ω))m. • Le spectre σ(A) de l’opérateur A est donné par σ(A) = ∪ ∞ n=1λnσ(D). 1. On se place dans le mˆeme cadre Hilbertien du chapitre précédent. 4.2 Problème direct 55 • L’opérateur A = −A engendre un semi-groupe analytique {S(t)}t≥0 sur X donné par S(t)x = X∞ n=1 e AntPnx, t ≥ 0, x ∈ X , o`u An = −λnD. 

Problème direct

Etant donné f ∈ X , le problème direct associe au problème inverse (4.1) écrit sous forme abstraite est donné par    ut(t) + Au(t) = f, 0 < t ≤ 1, u(0) = 0. (4.3) Pour le problème (4.3), on a le théorème suivant Théorème 4.2.1 Pour tout f ∈ X , le problème (4.3) admet une solution unique u ∈ C([0, T], D(A)) ∪ C([0, T], X ) donnée par u(t) = Z t 0 S(t − s)f ds. I Par conséquence, pour toute donnée f la solution du système (4.1) est u(x, t) = Z t 0 e −(t−s)Af ds = X∞ n=1 Z t 0 e −λnD(t−s)Pnf ds, (4.4) o`u Pn = diag(En, En, …, En), n = 1, 2, … Soit l ≤ m, si D = Pl i=1 diQi la décomposition spectrale de D, o`u {Qi}1≤i≤l est une famille complète de projections. Alors la solution (4.4) peut ˆetre reécrite comme suit u(x, t) = X∞ n=1 ( X i=l 1 Z t 0 e −λndi(t−s)Qi)Pnf(x) = X∞ n=1 X i=l 1 1 − e −λndit λndi QiPnf(x). 4.3 Méthode de troncature spectrale Notre objectif à présent est de déterminer f à partir de la donnée g. Donc le problème inverse se reformule comme suit. Soit l’opérateur K : f → g, déterminer f à partir de l’équation g(x) = u(x, 1) = Kf(x) = X∞ n=1 X l i=1 σn,iQiPnf(x), 4.3 Méthode de troncature spectrale 56 o`u σn,i = 1−e−λndi λndi . Il est facile de voir que K est un opérateur linéaire compact et injectif. D’autre part, g(x) = X∞ n=1 Png = X∞ n=1 X l i=1 QiPng. D’o`u X l i=1 σn,iQiPnf = X l i=1 QiPng, ce qui implique que QiPnf = 1 σn,i QiPng, et par conséquent f(x) = K−1 g(x) = X∞ n=1 X l i=1 1 σn,i QiPng(x). (4.5) Comme pratiquement la donnée g est souvent entachée d’erreur de mesure. Donc il est notre objectif de résoudre l’équation (4.5) à partir d’une donnée perturbée g δ vérifiant kg − g δ k < δ, (4.6) o`u δ > 0 représente le niveau de bruit. On note que 1 σn,i → ∞ quand n → ∞, donc le problème est mal-posé i.e., la solution ne dépend pas continˆuement de la donnée. Par conséquent le problème (4.5) ne peut ˆetre résolu en utilisant les méthodes numériques classiques. On essaye alors de régulariser l’équation (4.5) en neutralisant l’influence du facteur 1 σn,i dans la formule de la solution. L’idée essentielle pour stabiliser le problème est d’éliminer les hautes fréquences ( les composantes dont le nombre n est suffisamment grand) de la solution et on considère (4.5) seulement pour n ≤ N. Définissons à cet effet la solution régularisée (tronquée) comme suit : f δ N = X N n=1 X l i=1 1 σn,i QiPng δ . (4.7) Définition 4.3.1 Pour α > 0, on définit l’ensemble Cα,E = {f = (f1, f2, …fm) T ∈ (D(B α ))m : (Xm k=1 kfkk 2 α) 1 2 ≤ E}, o`u E > 0 est une constante. Théorème 4.3.1 Soient f δ N la solution régularisée donneée par (4.7), la solution exacte donnée par (4.5) et g δ (x) la donnée mesurée en t = 1 vérifiant (4.6). Si f ∈ Cα,E et λN+1 ≈ ( E δ ) 1 1+α , alors on a l’estimation d’erreur suivante kf(.) − f δ N (.)k ≤ E 1 1+α δ α 1+α (1 + θ), (4.8) o`u θ = dl(1 − λ1d1) −1 . 4.3 Méthode de troncature spectrale 57 Preuve. De (4.7) et (4.5), on obtient kf(.) − f δ N (.)k = k X∞ n=1 Pnf − X N n=1 X l i=1 1 σn,i QiPng δ k ≤ k X∞ n=1 Pnf − X N n=1 X l i=1 1 σn,i QiPngk + k X N n=1 X l i=1 1 σn,i QiPng − X N n=1 X l i=1 1 σn,i QiPng δ k ≤ k X∞ n=N+1 Pnfk + k X N n=1 X l i=1 1 σn,i QiPn(g − g δ )k. (4.9) En estime le membre droit comme suit k X∞ n=N+1 Pnfk = k X∞ n=N+1 (λn) −α (λn) αPnfk ≤ (λN+1) −α ( Xm k=1 X∞ n=N+1 (λn) 2α k|Enfk|k2 ) 1 2 ≤ (λN+1) −α ( Xm k=1 X∞ n=1 (λn) 2α k|Enfk|k2 ) 1 2 ≤ (λN+1) −α ( Xm k=1 kfkk 2 α) 1 2 (4.10) k X N n=1 X l i=1 1 σn,i QiPn(g − g δ )k ≤ λN+1dlk X N n=1 X l i=1 1 1 − e−λndi QiPn(g − g δ )k ≤ λN+1dl(1 − e −λ1d1 ) −1 ( Xm k=1 X∞ n=1 k|En(gk − g δ k )|k2 ) 1 2 ≤ λN+1dl(1 − e −λ1d1 ) −1 ( Xm k=1 k|gk − g δ k |k2 ) 1 2 ≤ λN+1dl(1 − e −λ1d1 ) −1 kg − g δ k (4.11) En tenant compte de (4.10) et (4.11), il vient kf(.) − f δ N (.)k ≤ (λN+1) −αE + δλN+1θ ≈ ((E δ ) 1 1+α ) −αE + θδ( E δ ) 1 1+α ≤ E 1 1+α δ α 1+α (1 + θ)  D’o`u le résultat. 4.4 Implementation numérique 58 4.4 Implementation numérique Dans cette section, on introduit quelques exemples numériques en dimension 1 pour valider la précision et l’efficacté de la méthode proposée. Pour cela on considère le problème inverse suivant : déterminer (U(x, t), f(x)), o`u U(x, t) = (U1(x, t), U2(x, t))T , f(x) = (f1(x), f2(x))T vérifiant le système    ∂tU(x, t) − DBU(x, t) = f(x), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1), U(0, t) = U(1, t) = 0, t ∈ (0, 1), U(x, 1) = g(x), x ∈ (0, 1), (4.12) o`u B = − ∂ 2 ∂x2 , de domaine D = H1 0 (0, 1) ∩ H2 (0, 1) ⊂ H = L 2 (0, 1). et λn = n 2π 2 , φn = √ 2 sin(nπx), n = 1, 2, … sont respectivement les valeurs propres et les fonctions proppres, qui forment une base pour H. On suppose que la donnée g est entachée d’erreur i.e. On dispose de la fonction gδ = (g1δ, g2δ) ∈