FONDEMENTS DE L’ANALYSE FRACTALE

C’est en 1975, avec la parution de son illustre ouvrage, intitulé « Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension », que le mathématicien Benoît Mandelbrot apporta une avancée significative dans le domaine de la la géométrie non euclidienne. Il faut toutefois noter, que c’est dans les années 60, que Mandelbrot inventa la géométrie fractale. Au coeur de ses préoccupations, figurait l’incapacité pour la géométrie classique, de modéliser et de concevoir la rugosité ou la fragmentation des objets naturels. L’introduction de la géométrie fractale, a ainsi permis la description et l’analyse d’objets fragmentés et à structure invariante par changement d’échelle. L’analyse de la morphologie des surfaces de rupture, initiée par Mandelbrot, dans son ouvrage intitulé: « Fractal character of fracture surfaces of metals. » [Mandelbrot, B. B. et al, 1984], suscite, de nos jours, l’intérêt très marqué de nombreux chercheurs. C’est ainsi, que Bouchaud [Bouchaud E., 1997] a pu observer l’universalité des propriétés des surfaces de rupture, en dépit de la différence des mécanismes de rupture à l’échelle microscopique, lorsqu’on passe d’un matériau à l’autre. Il faut noter que la notion de « structure fractale  » introduite pour la première fois par Mandelbrot en 1975, repose sur l’adjectif latin, fractus, du verbe, frangere, voulant dire: briser, présenter des irrégularités, fragmenter à toutes les échelles, fractionner à l’infini.

C’est le domaine d’échelles d’observation de la structure analysée, qui caractérise le principe des mesures utilisées dans l’analyse fractale, avec une forte corrélation des résultats relevant des différentes échelles. La structure fractale est, cependant, traduite par des résultats dépendant de l’échelle d’observation, selon une loi de type puissance, avec un exposant caractéristique de ces derniers. Une structure sera dite fractale, si elle présente des irrégularités à toutes ses échelles d’observation, tant au niveau macroscopique, que microscopique. En régime dynamique, en particulier, le caractère de la rupture d’une structure relève d’un examen de type fractographique. Il consiste en une inspection visuelle de la surface de rupture, lorsqu’on est à l’échelle macroscopique, en un examen stéréoscopique, plutôt aux échelles réduites, et en une visualisation par un microscope électronique, lorsqu’on se trouve à des échelles d’observation très grandes. L’effort réalisé par Mandelbrot, pour l’unification dans une même science, des courbes de longueur infinie et des surfaces présentant des irrégularités à toutes leurs échelles d’observation, a été et demeure, d’un très grand intérêt scientifique, comme en témoigne, l’organisation pendant plusieurs années, au Canada, du congrès sur « L’ingénieur et les fractals « .

Plus généralement, une fractale est définie comme « une figure dont la dimension de Hausdorff est plus grande que la dimension topologique » [Mandelbrot B., 1982]. Il n’existe, cependant, aucune définition du concept de fractal qui soit unanimement acceptée. Les définitions de la dimension fractale, les propriétés d’autosimilarité et d’autoaffinité, aident à la compréhension de ce concept. [Mandelbrot et al., 1984], sur les composites, les roches poreuses, le béton et le mortier par Carpinteri [Carpinteri, 1994]. Bien que les profils des sections verticales des surfaces réelles soient statistiquement autosimilaires, ils devraient, cependant, être analysés aux échelles différentes de représentation, tant sur la direction verticale, que sur la direction du plan de la surface nominale, introduisant ainsi la notion d’autoaffinité.

La propriété de lacunarité des fractals peut être prise en considération pour comparer des structures de même dimension, mais n’admettant pas une même distribution de trous (défauts, microfissures) [Secrieru C, 2007]. Il a été en effet observé, que des matériaux présentant différentes distributions de trous, ont généralement des comportements mécaniques différents, comme l’attestent des recherches menées sur le béton. oeuvre, par l’exercice consistant à mesurer la longueur de côtes (mesures effectuées par Richardson, dans le cadre de l’établissement de cartes géographiques) (voir Chapitre 2). Richardson a ainsi proposé de préciser, dans le cas de la mesure de corps réels, la valeur numérique trouvée, ainsi que l’identification d’une échelle propre à l’objet analysé, dont la mesure ne peut être effectuée en m, m2 ,m3,… mais plutôt, dans une unité de mesure propre. L’importance de l’échelle d’observation (longueur de la jauge) a été particulièrement mise en évidence dans ce processus de mesure, dans le sens où: la longueur L mesurée avec une jauge de mesure plus petite, est plus grande que la longueur obtenue avec une jauge plus grande. Dans son ouvrage « How Long Is the Coast of Britain? », Mandelbrot a étudié des courbes autosimilaires, dont la dimension de Hausdorff s’est trouvée comprise entre 1 et 2. Ces courbes étaient déjà des exemples très significatifs de structures fractales, bien que Mandelbrot n’ait utilisé ce terme ,que bien plus tard, en 1975.