Les travaux de cette thèse s’inscrivent dans le domaine des équations aux dérivées partielles et plus particulièrement dans le cadre de la dynamique des gaz. Un gaz est
un système physique constitué d’un très grand nombre de petites particules dont le libre parcours moyen est grand par rapport à leur taille. Il existe alors plusieurs niveaux de description. L’échelle macroscopique constitue l’échelle accessible facilement expérimentalement et pour laquelle on peut faire des mesures de quantités caractéristiques du gaz telles que le volume, la température, la pression . .. L’échelle microscopique correspond à l’échelle des composants élémentaires de la matière (atomes, molécules). On peut aussi introduire une description intermédiaire correspondant à une description statistique. Il s’agit alors de l’échelle mésoscopique. À ce niveau, on ne s’intéresse plus à l’évolution des particules individuellement mais à l’évolution de la densité de particules f, une fonction qui dépend du temps t, de la position x et de la vitesse v et telle que pour un volume infinitésimal dxdv, f(t, x, v)dxdv représente le nombre de particules dans ce volume au temps t.

Une question naturelle est de chercher à relier les différents niveaux de description. En d’autres termes, partant d’un modèle à une échelle, on cherche à trouver le modèle qui décrit de façon satisfaisante ce qui se passe à l’échelle supérieure.

Le parti pris dans ce manuscrit est d’étudier ces problématiques dans un contexte où une part d’aléa intervient toujours. Le Hasard est l’impossibilité de prévoir avec certitude un fait quelconque. Cette incapacité peut s’expliquer de plusieurs façons : la méconnaissance de paramètres nécessaires à la prévision ou alors le manque de précision les concernant. Dans la pratique, ces deux situations se présentent souvent. Ainsi, considérer des modèles incluant une part d’aléa apparait pertinent. Plusieurs types d’aléa peuvent alors être adoptés : en considérant des données initiales aléatoires et/ou en distribuant l’aléa sur tout l’intervalle de temps. Une question intéressante est alors celle d’un éventuel “effet régularisant” du bruit sur la dynamique. Par “effet régularisant”, on signifie que la dynamique observée hériterait de propriétés supplémentaires bénéfiques par rapport à un modèle sans ce bruit. Par la suite, les choix retenus quant à la façon de bruiter la dynamique dans les différents contextes s’expliquent de plusieurs façons : comme mentionné précédemment, ils correspondent à une description physique dans laquelle certaines informations sont inconnues ou alors ils correspondent à un choix particulier dont l’exploitation amène un gain par rapport au modèle déterministe.

À ce jour, beaucoup de questions restent ouvertes concernant la théorie de Cauchy pour l’équation de Boltzmann dans son contexte le plus général. Cela est dû au fait, entre autres, que les seules estimations a priori disponibles, la conservation formelle de la masse et l’énergie et la décroissance formelle de l’entropie, ne semblent même pas suffisantes pour donner un sens à l’équation. Plus précisément, avec ces seules estimations, l’opérateur de collision n’est même pas une distribution bien définie par rapport à la variable x. Toutefois, un certain nombre de résultats a été obtenu dans des cadres diverses. Comm

Le contexte cinétique général dans lequel vont s’inscrire nos résultats étant posé, nous pouvons à présent présenter le cadre du premier changement d’échelle traité. Il s’agit d’un passage de l’échelle microscopique à l’échelle mésoscopique : partant des lois de Newton, on obtient l’équation de Boltzmann.

Ce résultat fait office de référence historique dans cette problématique de changements d’échelle abordée précédemment. En effet, dans son célèbre sixième problème posé lors du Congrès International des Mathématiciens en 1900 à Paris, Hilbert a émis l’idée suivante : dans le contexte de la dynamique des gaz, lorsque l’on cherche à passer de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique, on devrait pouvoir utiliser à l’échelle mésoscopique l’équation de Boltzmann. Le premier à avoir effectivement obtenu un résultat concernant la première transition est Lanford en 1975 [54].

Dans les résultats mentionnés précédemment, au niveau microscopique le champ d’action d’une particule, que ce soit dans le cas des sphères dures ou des potentiels à courte portée, est toujours limité. Ainsi, des particules éloignées n’interagissent pas. Le cas que nous traitons à présent est sensiblement différent car il prend en considération des potentiels à portée infinie. Nous avons ainsi réussi à établir que dans ce cas de figure, on dérive l’équation de Boltzmann sans cut-off.

Historiquement, le premier résultat d’existence dans le cas de l’équation de Boltzmann sans cut-off est dû à Arkeryd et al. en 1981 [8] dans le cas homogène en espace. Depuis, un nombre considérable de résultats ont été obtenus. On citera les résultats récents de Alexandre et Villani [7] qui prouvent l’existence de solutions renormalisées avec “defect measures”, dans le cadre de perturbation autour de l’équilibre la série de travaux de Alexandre, Morimoto, Ukai, Xu et Yang [3, 4, 5, 6] qui établissent une théorie satisfaisante sur le caractère bien posé et la régularité des solutions classiques, des résultats du même type ayant été obtenus de façon indépendantes au même moment par une approche différente, notamment des espaces fonctionnels différents, par Gressman et Strain [44] (pour plus de références voir [5]).

L’une des difficultés intrinsèque à notre contexte est que l’usage seul de la stratégie de Lanford ne peut être suffisant. En effet, celle-ci néglige les phénomènes de compensation entre les termes de gain et de perte qui sont cruciaux dans le cas de l’équation de Boltzmann sans cut-off. Ainsi, il semble naturel de se placer dans le cadre d’une perturbation autour de l’équilibre comme dans [17]. L’idée ici est de séparer artificiellement le potentiel en deux parties : une partie “portée modérée” où les techniques usuelles s’appliqueront et une partie longue portée pour laquelle il faudra utiliser de nouveaux arguments . L’absence de borne sur b ne permet pas d’obtenir de contrôle sur le processus de branchement par des arguments de type Cauchy-Kowaleski, ce qui est compensé par les estimations a priori venant du principe du maximum et la procédure de pruning introduite dans [17].