Intégrales de termes mixtes

J’ai présenté dans le chapitre précédent la méthode du télescopage créatif par réduction. Maintenant, je vais construire une réduction pour une instance du pro- blème, à savoir le télescopage créatif pour les termes mixtes hypergéométriques et hyperexponentiels de la formeoù P 2 k(n)[x] est un polynôme, h et g sont des fractions rationnelles, et ¨ est uneont prouvé que parmi les termes mixtes hypergéométriques et hyperexponentiels, ce sont exactement ceux de cette forme pour lesquels il existe des télescopeurs.f (n, x), ce qui ne sera pasambigu car on ne dérivera jamais par rapport à n.) La première chose à remarquer est qu’il suffit de traiter le cas ¨(n) Æ 1. En effet, si ª(n, x) Æ ¨(n) ¢ F(n, x) et si l’onUne fois de plus, c’est un problème d’une nature purement algébrique. En ef- fet, lorsque k Æ C, une fonction ª du type (2.1) est méromorphe sur C. On peutcontinuation analytique montre que tout télescopeur obtenu par ce biais en sera également un pour ª vu comme une fonction de la variable complexe.On continue donc à raisonner sur un corps k de caractéristique 0 et pour des raisons qui seront apparentes par la suite, il convient de poser ª Æ P ¢ © car lepolynôme P jouera un rôle spécial. On voit désormais © comme une indétermi- née, et on travaille dans l’anneau A Æ k(n, x)[©] auquel on étend les opérateurs.

 INTÉGRALES DE TERMES MIXTES

La construction est faite dans la deuxième section. La première section quant à elle met en place des propriétés qui se traduiront par le confinement et la norma- lité de la réduction. Dans la troisième section, j’analyserai quantitativement l’al- gorithme de télescopage créatif qui en découle pour évaluer la taille des télesco- peurs calculés. Les deux dernières sections contiennent des exemples et l’analyse de complexité des algorithmes.) est un polynôme de degré exactement k. On en déduit que Á est un isomorphisme. Ceci conclut quant à l’existence et l’unicité de Q et R, vu que l’équation (2.3) est équi- valente à Á(Q) Æ P div xLa quantité ± de ce lemme va intervenir de façon capitale tout au long de cha- pitre. Fixons donc une bonne fois pour toutes cette notation.Connement (algorithme 2). Ainsi dans une expression P©, où P 2 K[x] est un po- lynôme, on peut toujours réduire le degré de P en ajoutant des dérivées. Cette pro-On termine cette section par une proposition qui permettra d’obtenir l’autre propriété importante pour notre réduction : la normalité.On est maintenant en mesure de prouver le lemme suivant, qui permet d’effec- tuer une étape atomique de la réduction. C’est l’analogue dans ce cadre mixte du lemme 20 p. 35.

Lemme 41. On reprend les notations 36 et 38. Soit P 2 K[x] un polynôme, k un entier strictement positif, et f 2 k[x] un facteur sans carré du dénominateur de h. Alors il existe une paire de polynômes R,Q 2 K[x], avecÀ nouveau, la preuve est complètement effective. En particulier, avec les mêmes notations, on peut appliquer le lemme plusieurs fois et écrireC’est tout à fait similaire à une étape élémentaire de la réduction de Hermite (lemme 20 p. 35), sauf que l’exposant dépend ici de n.La réduction complète s’effectue en utilisant de façon répétée le lemme précé- dent. Elle est décrite dans cette proposition, qui est l’analogue de la réduction de Hermite pour les fractions rationnelles (proposition 21 p. 35).Démonstration. On commence par décomposer h en éléments simples. Étant don- née une décomposition sans carrésÀ ce stade, prenons un peu de recul sur ce que signifient les résultats prou-vés jusqu’ici. Le lemme 37 montre que l’on sait réduire P© vers un espace de di- mension finie pour tout polynôme P, en posant [P©] Æ R pour le R du lemme.

Comme il a été expliqué dans la section 1.2, la réduction que l’on vient de construire mène à un algorithme pour calculer un télescopeur pour ª. La stra- tégie consiste à chercher une combinaison linéaire nulle entre les réductions de ª, Sª, . . . Le lemme suivant permet de suivre de façon précise la forme que prennent les réductions de ces décalages successifs, ce qui va nous permettre de prédire les degrés des coefficients du télescopeur./© n’a pas de résidu entier positif. Alors l’algorithme TCMixte(P,h,v/w) calcule un télescopeur d’ordre minimal de ª.Démonstration. C’est une conséquence du corollaire 17 car la réduction est à la fois confinée (lemme 37) et normale (proposition.