La construction d’Abbes et Saito pour les connexions méromorphes le cas d’un trait

La construction d’Abbes et Saito 

Prologue géométrique

 On rappelle ici le nécessaire concernant la notion de dilatation. Pour une exposition plus circonstanciée, on pourra se reporter à [3]. Soit f : Y → X un morphisme de schémas sur K, D un sous-schéma fermé de X défini par un faisceau d’idéaux I et E un sous-schéma fermé de f −1 (D) défini par un faisceau d’idéaux J sur Y . Alors I · OY ⊂ J , de sorte qu’on dispose d’un morphisme de OY -algèbres graduées θ : f ∗ (⊕NI n ) /⊕NJ n . (2.1.1) Notons YeE (resp. XeD) l’éclaté de Y le long de E (resp. D). Si p ∈ YeE, alors θ −1 (p) détermine un élément de XeD ×X Y = Proj f ∗ (⊕NI n ) si et seulement si p est dans l’un des ouverts D+(θ(x)) de YeE, avec x ∈ I vu dans l’algèbre source comme élément de degré 1. On en déduit que ∪x∈ID+(θ(x)) est le plus grand ouvert de YeE, noté Y(D) sur lequel θ induit un morphisme de schémas Y(D) → XeD ×X Y . Définition 2.1.2. On appelle Y(D) la dilatation de Y en E par rapport à D. Soit f : Y → X un morphisme séparé de K-schémas localement noethériens et g : X → Y une section de f. Le morphisme g est alors une immersion fermée. Soit D un sous-schéma fermé de X, de complémentaire U et i : D −→ X l’injection canonique. Notons encore Y(D) le dilaté de Y en g(D) par rapport à D. Si E[D] désigne le diviseur exceptionnel de Yeg(D) et E(D) l’intersection de E[D] avec l’ouvert Y(D) , on dispose du diagramme.

Enoncé du théorème 

Soit S un trait complet sur K. Le choix d’une uniformisante x de S induit une identification S ≃ Spec KJxK. Soient n ≥ 1 et k ≥ 1 des entiers. On pose r = k/n, t = x 1/n et on note Dk le diviseur de degré k de Sn = Spec KJtK. Soient sn le point fermé de Sn, ηn son point générique et γn : Sn → S le morphisme d’élévation à la puissance n. Soit S1,n le complété de S × Sn en l’origine. Le graphe de γn induit une immersion fermée Γn : Sn → S1,n. Pour la structure de Sn-schéma sur S1,n donnée par la seconde projection, on définit S1,n(Dk) comme le dilaté de S1,n en Γn(Dk) relativement à Dk. On en déduit suivant 2.1.4 le diagramme commutatif à carrés cartésiens.

Réduction au cas où K = C Il va s’agir d’une application du principe de Lefschetz. Soit L une extension de K, L une clôture algébrique de L et K la clôture algébrique de K dans L. Soit M un K((x))-module différentiel. Proposition 2.3.1. La formule (2.2.5) est vraie pour ML si et seulement si elle est vraie pour M. Démonstration. On commence par observer que les manipulations géométriques intervenant dans la construction d’Abbes et Saito (2.2.1) commutent à l’extension des scalaires, de même que les foncteurs Ψπ et F. Supposons que (2.2.5) soit vraie pour M et considérons le diagramme cartésien.Soit N un modèle algébrique de M, c’est-à-dire un K[x, x−1 ]-module différentiel tel que M ≃ K((x)) ⊗K[x,x−1] N . Un tel modèle existe d’après [25, 2.4.10]. Soit K′/Q l’extension de Q engendrée par les coefficients des polynômes de Laurent intervenant dans la matrice de ∂x dans une base B choisie de N . Si on note NK′ le K′ ((x))-module différentiel que le choix de base B définit, le lemme 2.3.1 assure qu’il suffit de prouver 2.2.4 pour NK′. Puisque le degré de transcendance de K′/Q est fini, on peut se donner un plongement de K′ dans C. Via ce choix de plongement, on se ramène toujours par 2.3.1 à démontrer 2.2.4 pour le module différentiel complexe qui se déduit de NK′ par extension des scalaires. 

Compatibilité à la formalisation

 Les cycles proches sont compatibles à la formalisation le long de Y , c’est l’objet de la Proposition 3.2.1. Soit fb: Xb → C la formalisation de f le long de Y . Alors, pour tout DX-module spécialisable M, le DXb -module Mc est spécialisable et on a une identification canonique ΨfM ≃ ΨfbMc. Démonstration. Soit a ∈ C. Posons Uk = ObX ⊗ Va+k(M) et montrons qu’il s’agit de Va+k(Mc). On commence par établir la bonté de U. Dire que (Va+k(M))k∈Z est une bonne V -filtration de M sur X, c’est dire qu’on dispose localement d’une surjection D p X → M → 0 pour laquelle Va+·(M) est à décalage près la filtration image de V.(DX) p . Par tensorisation par OXb , il suffit de prouver qu’à travers l’identification canonique OXb⊗ DX ≃ DXb , l’espace OXb ⊗ Vk(DX) correspond à Vk(DXb ). Ceci découle immédiatement du fait que si (x, t) sont des coordonnées locales avec Y définie par t = 0, alors Vk(DX) et Vk(DXb ) sont les faisceaux localement libres (sur X et Xb respectivement) engendrés par les t −k∂ i x (t∂t) j si k < 0 et les ∂ i x∂ l t (t∂t) j , 0 ≤ l ≤ k si k ≥ 0.